1497. Jednačine koje se svode na kvadratne

Grupisaćemo faktore tako da zbir slobodnih članova u zagradama bude jednak. Biramo parove: $(x-4)$ sa $(x-7)$ i $(x-5)$ sa $(x-6) ,$ jer je $-4 - 7 = -11$ i $-5 - 6 = -11 .$

[(x - 4)(x - 7)] \cdot [(x - 5)(x - 6)] = 1680

Množimo faktore unutar zagrada:

(x^2 - 11x + 28)(x^2 - 11x + 30) = 1680

Uvodimo smenu $t = x^2 - 11x + 28$ kako bismo pojednostavili jednačinu.

t(t + 2) = 1680

Sređujemo jednačinu po promenljivoj $t :$

t^2 + 2t - 1680 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $t$ koristeći obrazac:

t_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (-1680)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{6724}}{2} = \frac{-2 \pm 82}{2}

Dobijamo dve vrednosti za $t :$

t_1 = 40, \quad t_2 = -42

Vraćamo smenu za $t_1 = 40 :$

x^2 - 11x + 28 = 40 \implies x^2 - 11x - 12 = 0

Rešavamo prvu kvadratnu jednačinu po $x :$

x_{1,2} = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2} = \frac{11 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{11 \pm 13}{2}

Rešenja prve jednačine su:

x_1 = 12, \quad x_2 = -1

Vraćamo smenu za $t_2 = -42 :$

x^2 - 11x + 28 = -42 \implies x^2 - 11x + 70 = 0

Rešavamo drugu kvadratnu jednačinu po $x .$ Kako je diskriminanta negativna, dobijamo konjugovano-kompleksna rešenja:

x_{3,4} = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 1 \cdot 70}}{2} = \frac{11 \pm \sqrt{-159}}{2}

Rešenja druge jednačine u skupu kompleksnih brojeva su:

x_3 = \frac{11 + i\sqrt{159}}{2}, \quad x_4 = \frac{11 - i\sqrt{159}}{2}

Konačan skup rešenja jednačine je:

x \in \left\{ 12, -1, \frac{11 + i\sqrt{159}}{2}, \frac{11 - i\sqrt{159}}{2} \right\}

Započni učenje

Online grupni časovi

1497.
Jednačine koje se svode na kvadratne

1497.Jednačine koje se svode na kvadratne

1497.
Jednačine koje se svode na kvadratne