866.

Ispitivanje rešenja kvadratne jednačine

TEKST ZADATKA

Neka su x1x_1x2x_2rešenja u skupu kompleksnih brojeva kvadratne jednačine x2+px+q=0.x^2+px+q=0. Izračunati realne brojeve ppiqqtako da važi:

x12x2+x22x1=pi1x1+1x2=q\quad \frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2^2}{x_1}=p\quad \text{i}\quad \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=q
REŠENJE ZADATKA

Odrediti vrednosti osnovnih Vietovih formula znajući da je a=1,b=pa=1, b=pic=q.c=q.

x1+x2=−ba=−p,x1x2=ca=qx_1+x_2=-\frac{b}{a}=-p, \quad x_1x_2=\frac{c}{a}=q

Srediti relaciju datu za q.q.

q=1x1+1x2q=x1+x2x1x2q=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\\ q=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}

Uvrstiti vrednosti Vietovih formula.

q=−pq  ⟹  p=−q2q=\frac{-p}{q}\implies p=-q^2

Izarz za qqje definisan ako x1≠0x_1\not=0ix2≠0x_2\not=0tj. p=−q2≠0.p=-q^2\not=0.

Srediti relaciju datu za p.p.

p=x12x2+x22x1p=x13+x23x1x2p=\frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2^2}{x_1}\\ p=\frac{x_1^3+x_2^3}{x_1x_2}

Primeniti formulu za zbir kubova a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2).a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).

p=(x1+x2)(x12−x1x2+x2)x1x2p=\frac{(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2)}{x_1x_2}

Primeniti formulu za kvadrat zbira (a+b)2=a2+2ab+b2.(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.

p=(x1+x2)((x1+x2)2−3x1x2)x1x2p=\frac{(x_1+x_2)((x_1+x_2)^2-3x_1x_2)}{x_1x_2}

Zameniti vrednosti Vietovih formula i srediti izraz.

p=−p(p2−3q)q1=3q−p2qp=\frac{-p(p^2-3q)}{q}\\ 1=\frac{3q-p^2}{q}

Uvrstiti izraz za p=−q2.p=-q^2.

1=3q−q4q1=3−q3q3=2  ⟹  q=23, p=−431=\frac{3q-q^4}{q}\\ 1=3-q^3\\ q^3=2 \implies q=\sqrt[3]{2}, \space p=-\sqrt[3]{4}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti