697.

Ispitivanje rešenja kvadratne jednačine

TEKST ZADATKA

Neka su x1x_1ix2x_2rešenja kvadratne jednačine x2−x−2=0.x^2-x-2=0. Ne rešavanjući jednačinu odrediti:  \space 1′ x12+x22=?2′ x13+x23=?3′ x14+x24=?1' \space x_1^2+x_2^2=? \quad 2'\space x_1^3+x_2^3=?\quad 3'\space x_1^4+x_2^4=?

REŠENJE ZADATKA

Odrediti vrednosti osnovnih Vietovih formula hnajući da je a=1,b=−1a=1, b=-1ic=−2.c=-2.

x1+x2=−ba=1,x1x2=ca=−2x_1+x_2=-\frac{b}{a}=1,\quad x_1x_2=\frac{c}{a}=-2

Prvi slučaj x12+x22x_1^2+x_2^2može se zapisati preko formule za kvadrat zbira (a+b)2=a2+2ab+b2.(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.

x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2

Zameniti izračunate vrednosti u izraz:

12−2⋅(−2)=1+4=51^2-2\cdot(-2)=1+4=5

Drugi slučaj x13+x23x_1^3+x_2^3može se zapisati preko formule za kubzbira (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3.(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.

x13+x23=(x1+x2)3−(3x12x2+3x1x22)x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-(3x_1^2x_2+3x_1x_2^2)

Izvući zajednučki član 3x1x23x_1x_2ispred druge zagrade:

(x1+x2)3−3x1x2(x2+x1)(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_2+x_1)

Zameniti izračunate vrednosti u izraz:

13−3⋅(−2)⋅1=1+6=71^3-3\cdot(-2)\cdot1=1+6=7

Treći slučaj x14+x24x_1^4+x_2^4može se zapisati preko formule za kvadrat zbira (a+b)2=a2+2ab+b2.(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.

x14+x24=(x12+x22)2−2x12x22x_1^4+x_2^4=(x_1^2+x_2^2)^2-2x_1^2x_2^2

Uvrstiti izračunate vrednosti u izraz:

52−2⋅(−2)2=25−8=175^2-2\cdot(-2)^2=25-8=17

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti