1911.

Iracionalne jednačine i nejednačine

TEKST ZADATKA

Reši nejednačinu:

3x2−2x−1⩾2x−2\sqrt{3x^2-2x-1} \geqslant 2x-2
REŠENJE ZADATKA

Iracionalna nejednačina oblika f(x)⩾g(x) \sqrt{f(x)} \geqslant g(x) ekvivalentna je uniji dva sistema nejednačina:

{g(x)<0f(x)⩾0∨{g(x)⩾0f(x)⩾(g(x))2\begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \geqslant 0 \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} g(x) \geqslant 0 \\ f(x) \geqslant (g(x))^2 \end{cases}

U našem slučaju je f(x)=3x2−2x−1 f(x) = 3x^2-2x-1 i g(x)=2x−2. g(x) = 2x-2 . Prvo ćemo odrediti domen korena, odnosno rešiti nejednačinu f(x)⩾0. f(x) \geqslant 0 .

3x2−2x−1⩾03x^2-2x-1 \geqslant 0

Nalazimo nule kvadratne funkcije 3x2−2x−1=0. 3x^2-2x-1 = 0 .

x1,2=2±(−2)2−4⋅3⋅(−1)2⋅3=2±46x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm 4}{6}

Nule su x1=1 x_1 = 1 i x2=−13. x_2 = -\frac{1}{3} . Faktorizovan oblik nejednačine je 3(x−1)(x+13)⩾0. 3(x-1)\left(x+\frac{1}{3}\right) \geqslant 0 .

3(x−1)(x+13)⩾03(x-1)\left(x+\frac{1}{3}\right) \geqslant 0
x∈(−∞,−1/3)x \in (-\infty, -1/3)
x∈(−1/3,1)x \in (-1/3, 1)
x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty)
x+1/3x+1/3
−-
++
++
x−1x-1
−-
−-
++
3(x−1)(x+1/3)3(x-1)(x+1/3)
++
−-
++

Na osnovu tabele znakova, izraz je nenegativan na sledećem skupu:

x∈(−∞,−13]∪[1,+∞)x \in \left(-\infty, -\frac{1}{3}\right] \cup [1, +\infty)

Sada rešavamo prvi sistem (Slučaj 1): g(x)<0 g(x) < 0 i f(x)⩾0. f(x) \geqslant 0 .

{2x−2<0x∈(−∞,−13]∪[1,+∞)\begin{cases} 2x-2 < 0 \\ x \in \left(-\infty, -\frac{1}{3}\right] \cup [1, +\infty) \end{cases}

Rešavamo prvu nejednačinu sistema: 2x−2<0  ⟹  2x<2  ⟹  x<1. 2x-2 < 0 \implies 2x < 2 \implies x < 1 . Presek ovog uslova sa domenom daje rešenje prvog sistema.

x∈(−∞,−13]x \in \left(-\infty, -\frac{1}{3}\right]

Zatim postavljamo drugi sistem (Slučaj 2): g(x)⩾0 g(x) \geqslant 0 i f(x)⩾(g(x))2. f(x) \geqslant (g(x))^2 .

{2x−2⩾03x2−2x−1⩾(2x−2)2\begin{cases} 2x-2 \geqslant 0 \\ 3x^2-2x-1 \geqslant (2x-2)^2 \end{cases}

Prva nejednačina daje x⩾1. x \geqslant 1 . Kvadriramo desnu stranu druge nejednačine.

3x2−2x−1⩾4x2−8x+43x^2-2x-1 \geqslant 4x^2-8x+4

Prebacujemo sve članove na jednu stranu i sređujemo kvadratnu nejednačinu.

−x2+6x−5⩾0  ⟹  x2−6x+5⩽0-x^2+6x-5 \geqslant 0 \implies x^2-6x+5 \leqslant 0

Nalazimo nule kvadratne funkcije x2−6x+5=0. x^2-6x+5 = 0 .

x1,2=6±(−6)2−4⋅1⋅52=6±42x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2}

Nule su x1=5 x_1 = 5 i x2=1. x_2 = 1 . Faktorizovan oblik nejednačine je (x−1)(x−5)⩽0. (x-1)(x-5) \leqslant 0 .

(x−1)(x−5)⩽0(x-1)(x-5) \leqslant 0
x∈(−∞,1)x \in (-\infty, 1)
x∈(1,5)x \in (1, 5)
x∈(5,+∞)x \in (5, +\infty)
x−1x-1
−-
++
++
x−5x-5
−-
−-
++
(x−1)(x−5)(x-1)(x-5)
++
−-
++

Na osnovu tabele znakova, rešenje nejednačine x2−6x+5⩽0 x^2-6x+5 \leqslant 0 je interval gde je proizvod negativan ili nula.

x∈[1,5]x \in [1, 5]

Presek ovog rešenja sa uslovom x⩾1 x \geqslant 1 iz drugog sistema daje rešenje drugog slučaja.

x∈[1,5]x \in [1, 5]

Konačno rešenje polazne nejednačine je unija rešenja prvog i drugog sistema.

x∈(−∞,−13]∪[1,5]x \in \left(-\infty, -\frac{1}{3}\right] \cup [1, 5]

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti