1905.

Iracionalne jednačine i nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačine (zadaci 378-379):

x+x−1−x=1\sqrt{x+\sqrt{x-\sqrt{1-x}}} = 1
REŠENJE ZADATKA

Kvadriramo obe strane jednačine kako bismo se oslobodili spoljašnjeg korena:

x+x−1−x=1x + \sqrt{x - \sqrt{1-x}} = 1

Izolujemo preostali koren na jednoj strani:

x−1−x=1−x\sqrt{x - \sqrt{1-x}} = 1 - x

Da bi jednačina imala realna rešenja, moraju biti ispunjeni uslovi definisanosti korena, kao i uslov da je vrednost korena nenegativna. Iz desne strane sledi:

1−x≥0  ⟹  x≤11 - x \ge 0 \implies x \le 1

Ponovo kvadriramo obe strane jednačine:

x−1−x=(1−x)2x - \sqrt{1-x} = (1 - x)^2

Uvodimo smenu kojom ćemo uprostiti jednačinu. Neka je y=1−x, y = \sqrt{1-x} , pri čemu mora važiti y≥0. y \ge 0 . Kvadriranjem smene dobijamo y2=1−x, y^2 = 1 - x , odakle izražavamo x: x :

x=1−y2x = 1 - y^2

Zamenjujemo izraženo x x i smenu y y u jednačinu dobijenu nakon drugog kvadriranja:

1−y2−y=(y2)21 - y^2 - y = (y^2)^2

Sređujemo jednačinu tako što sve članove prebacimo na jednu stranu:

y4+y2+y−1=0y^4 + y^2 + y - 1 = 0

Faktorišemo dobijeni polinom četvrtog stepena. Prvo grupišemo članove:

(y4−1)+(y2+y)=0(y^4 - 1) + (y^2 + y) = 0

Primenjujemo razliku kvadrata na prvu zagradu i izvlačimo zajednički faktor iz druge:

(y2−1)(y2+1)+y(y+1)=0(y^2 - 1)(y^2 + 1) + y(y + 1) = 0

Dalje razlažemo razliku kvadrata:

(y−1)(y+1)(y2+1)+y(y+1)=0(y - 1)(y + 1)(y^2 + 1) + y(y + 1) = 0

Izvlačimo zajednički faktor (y+1) (y + 1) ispred zagrade:

(y+1)[(y−1)(y2+1)+y]=0(y + 1) [ (y - 1)(y^2 + 1) + y ] = 0

Množimo članove unutar srednje zagrade i sređujemo izraz:

(y+1)(y3−y2+y−1+y)=0(y+1)(y3−y2+2y−1)=0\begin{aligned} (y + 1) ( y^3 - y^2 + y - 1 + y ) &= 0 \\ (y + 1) ( y^3 - y^2 + 2y - 1 ) &= 0 \end{aligned}

S obzirom na početni uslov y≥0, y \ge 0 , važi da je y+1≥1>0. y + 1 \ge 1 > 0 . Zbog toga prvi faktor ne može biti jednak nuli, pa jedino rešenje mora zadovoljavati kubnu jednačinu:

y3−y2+2y−1=0y^3 - y^2 + 2y - 1 = 0

Ova kubna jednačina nema racionalne korene. Da bismo je rešili, uvodimo novu smenu kojom eliminišemo kvadratni član. Neka je:

y=t+13y = t + \frac{1}{3}

Zamenjujemo smenu u kubnu jednačinu:

(t+13)3−(t+13)2+2(t+13)−1=0\left(t + \frac{1}{3}\right)^3 - \left(t + \frac{1}{3}\right)^2 + 2\left(t + \frac{1}{3}\right) - 1 = 0

Razvijamo stepene binoma:

t3+t2+13t+127−(t2+23t+19)+2t+23−1=0t^3 + t^2 + \frac{1}{3}t + \frac{1}{27} - \left(t^2 + \frac{2}{3}t + \frac{1}{9}\right) + 2t + \frac{2}{3} - 1 = 0

Sređujemo jednačinu grupisanjem sličnih članova:

t3+53t−1127=0t^3 + \frac{5}{3}t - \frac{11}{27} = 0

Dobijena jednačina je oblika t3+pt+q=0, t^3 + pt + q = 0 , gde je p=53 p = \frac{5}{3} i q=−1127. q = -\frac{11}{27} . Primenjujemo Kardanovu formulu za nalazak realnog korena:

t=−q2+q24+p3273+−q2−q24+p3273t = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}

Računamo vrednosti izraza pod kvadratnim korenom:

q24+p327=1212916+125729=121+5002916=6212916=23108\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27} = \frac{121}{2916} + \frac{125}{729} = \frac{121 + 500}{2916} = \frac{621}{2916} = \frac{23}{108}

Zamenjujemo izračunate vrednosti u Kardanovu formulu (uz −q2=1154 -\frac{q}{2} = \frac{11}{54} ):

t=1154+231083+1154−231083t = \sqrt[3]{\frac{11}{54} + \sqrt{\frac{23}{108}}} + \sqrt[3]{\frac{11}{54} - \sqrt{\frac{23}{108}}}

Sređujemo izraze pod kubnim korenom koristeći 23108=6918=36954: \sqrt{\frac{23}{108}} = \frac{\sqrt{69}}{18} = \frac{3\sqrt{69}}{54} :

t=11+369543+11−369543t = \sqrt[3]{\frac{11 + 3\sqrt{69}}{54}} + \sqrt[3]{\frac{11 - 3\sqrt{69}}{54}}

Izvlačimo 543=323 \sqrt[3]{54} = 3\sqrt[3]{2} u imenilac:

t=11+3693+11−3693323t = \frac{\sqrt[3]{11 + 3\sqrt{69}} + \sqrt[3]{11 - 3\sqrt{69}}}{3\sqrt[3]{2}}

Vraćamo se na smenu y=t+13: y = t + \frac{1}{3} :

y=13+11+3693+11−3693323y = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt[3]{11 + 3\sqrt{69}} + \sqrt[3]{11 - 3\sqrt{69}}}{3\sqrt[3]{2}}

Konačno, rešenje za x x dobijamo iz relacije x=1−y2: x = 1 - y^2 :

x=1−(13+11+3693+11−3693323)2x = 1 - \left( \frac{1}{3} + \frac{\sqrt[3]{11 + 3\sqrt{69}} + \sqrt[3]{11 - 3\sqrt{69}}}{3\sqrt[3]{2}} \right)^2

**Napomena:** Zbog izuzetne složenosti rešenja, velika je verovatnoća da je u originalnom tekstu zadatka napravljena štamparska greška i da je umesto minusa trebalo da stoji plus pred unutrašnjim korenom (x+x+1−x=1 \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{1-x}}} = 1 ). U tom slučaju, jednačina bi se svela na y4+y2−y−1=0, y^4 + y^2 - y - 1 = 0 , čije je jedino nenegativno rešenje y=1, y = 1 , što bi dalo jednostavno celobrojno rešenje x=0. x = 0 .

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti