1895.

372.g

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

x2−4x+7x−2<2\sqrt{\frac{x^2-4x+7}{x-2}} < 2
REŠENJE ZADATKA

Određujemo oblast definisanosti (domen) nejednačine. Izraz pod korenom mora biti nenegativan, a imenilac različit od nule:

x2−4x+7x−2≥0ix−2≠0\frac{x^2-4x+7}{x-2} \ge 0 \quad \text{i} \quad x-2 \ne 0

Analiziramo kvadratni trinom u brojiocu x2−4x+7. x^2-4x+7 . Njegova diskriminanta je:

D=(−4)2−4⋅1⋅7=16−28=−12D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16 - 28 = -12

Kako je D<0 D < 0 i koeficijent uz x2 x^2 pozitivan (a=1>0 a = 1 > 0 ), trinom je uvek pozitivan za svako realno x: x :

x2−4x+7>0,∀x∈Rx^2-4x+7 > 0, \quad \forall x \in \mathbb{R}

Pošto je brojilac uvek pozitivan, razlomak će biti nenegativan samo ako je imenilac strogo pozitivan:

x−2>0  ⟹  x>2x-2 > 0 \implies x > 2

S obzirom na to da su obe strane početne nejednačine nenegativne na domenu, možemo ih kvadrirati:

x2−4x+7x−2<4\frac{x^2-4x+7}{x-2} < 4

Prebacujemo sve na levu stranu kako bismo dobili nulu na desnoj strani:

x2−4x+7x−2−4<0\frac{x^2-4x+7}{x-2} - 4 < 0

Svodimo na zajednički imenilac:

x2−4x+7−4(x−2)x−2<0\frac{x^2-4x+7 - 4(x-2)}{x-2} < 0

Sređujemo izraz u brojiocu:

x2−8x+15x−2<0\frac{x^2-8x+15}{x-2} < 0

Faktorišemo kvadratni trinom u brojiocu. Njegove nule su x1=3 x_1 = 3 i x2=5, x_2 = 5 , pa se nejednačina može zapisati kao:

(x−3)(x−5)x−2<0\frac{(x-3)(x-5)}{x-2} < 0

Formiramo tabelu znakova za dobijeni izraz kako bismo odredili intervale u kojima je strogo manji od nule.

x∈(−∞,2)x \in (-\infty, 2)
x∈(2,3)x \in (2, 3)
x∈(3,5)x \in (3, 5)
x∈(5,+∞)x \in (5, +\infty)
x−2x-2
++
++
++
++
x−3x-3
++
++
++
++
x−5x-5
++
++
++
++
(x−3)(x−5)x−2\frac{(x-3)(x-5)}{x-2}
++
++
++
++

Na osnovu tabele, izraz je negativan za:

x∈(−∞,2)∪(3,5)x \in (-\infty, 2) \cup (3, 5)

Konačno rešenje dobijamo u preseku ovog skupa sa domenom nejednačine (x>2 x > 2 ):

x∈(3,5)x \in (3, 5)