1888.

Iracionalne jednačine i nejednačine

TEKST ZADATKA

Reši jednačinu:

2x23−5x3=32\sqrt[3]{x^2} - 5\sqrt[3]{x} = 3
REŠENJE ZADATKA

Prebacujemo sve članove na levu stranu i uočavamo da se jednačina može svesti na kvadratnu uvođenjem smene t=x3. t = \sqrt[3]{x} . Kako je x23=(x3)2, \sqrt[3]{x^2} = (\sqrt[3]{x})^2 , sledi da je x23=t2. \sqrt[3]{x^2} = t^2 .

2t2−5t−3=02t^2 - 5t - 3 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu po t. t . Prvo računamo diskriminantu:

D=b2−4ac=(−5)2−4⋅2⋅(−3)=25+24=49D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49

Nalazimo rešenja kvadratne jednačine primenom formule:

t1,2=−b±D2a=−(−5)±492⋅2=5±74t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 7}{4}

Razdvajamo rešenja za t: t :

t1=5+74=124=3,t2=5−74=−24=−12t_1 = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3, \quad t_2 = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}

Vraćamo smenu za prvo rešenje t1=3. t_1 = 3 . Da bismo našli x, x , stepenujemo obe strane jednačine na treći stepen:

x3=3  ⟹  x=33=27\sqrt[3]{x} = 3 \implies x = 3^3 = 27

Vraćamo smenu za drugo rešenje t2=−12 t_2 = -\frac{1}{2} i takođe stepenujemo na treći stepen:

x3=−12  ⟹  x=(−12)3=−18\sqrt[3]{x} = -\frac{1}{2} \implies x = \left(-\frac{1}{2}\right)^3 = -\frac{1}{8}

Zapisujemo konačan skup rešenja polazne jednačine:

x∈{−18,27}x \in \left\{ -\frac{1}{8}, 27 \right\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti