1885.

Iracionalne jednačine i nejednačine

TEKST ZADATKA

Reši jednačinu:

16xx−15+x−116x5=52\sqrt[5]{\frac{16x}{x-1}} + \sqrt[5]{\frac{x-1}{16x}} = \frac{5}{2}
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo domen jednačine. Imenioci razlomaka ne smeju biti jednaki nuli, a pošto je koren neparan, potkorene veličine mogu biti bilo kog znaka.

x−1≠0i16x≠0x - 1 \neq 0 \quad \text{i} \quad 16x \neq 0

Iz ovoga dobijamo uslove za x. x .

x≠1ix≠0x \neq 1 \quad \text{i} \quad x \neq 0

Uvodimo smenu kako bismo uprostili jednačinu. Neka je:

t=16xx−15t = \sqrt[5]{\frac{16x}{x-1}}

Tada drugi sabirak postaje recipročna vrednost od t. t .

x−116x5=1t\sqrt[5]{\frac{x-1}{16x}} = \frac{1}{t}

Zamenom u početnu jednačinu dobijamo:

t+1t=52t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}

Množimo celu jednačinu sa 2t 2t (uz uslov t≠0 t \neq 0 ) kako bismo se oslobodili razlomaka.

2t2−5t+2=02t^2 - 5t + 2 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu po t. t .

t1,2=5±(−5)2−4⋅2⋅22⋅2=5±25−164=5±34t_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}

Dobijamo dva rešenja za t. t .

t1=2,t2=12t_1 = 2, \quad t_2 = \frac{1}{2}

Vraćamo se na smenu za prvi slučaj t1=2. t_1 = 2 .

16xx−15=2\sqrt[5]{\frac{16x}{x-1}} = 2

Stepenujemo obe strane jednačine na peti stepen.

16xx−1=25\frac{16x}{x-1} = 2^5

Sređujemo jednačinu.

16xx−1=32\frac{16x}{x-1} = 32

Delimo obe strane sa 16.

xx−1=2\frac{x}{x-1} = 2

Množimo sa x−1 x-1 i rešavamo po x. x .

x=2(x−1)  ⟹  x=2x−2  ⟹  x=2x = 2(x-1) \implies x = 2x - 2 \implies x = 2

Sada se vraćamo na smenu za drugi slučaj t2=12. t_2 = \frac{1}{2} .

16xx−15=12\sqrt[5]{\frac{16x}{x-1}} = \frac{1}{2}

Stepenujemo obe strane na peti stepen.

16xx−1=(12)5\frac{16x}{x-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^5

Sređujemo jednačinu.

16xx−1=132\frac{16x}{x-1} = \frac{1}{32}

Množimo unakrsno kako bismo rešili po x. x .

16x⋅32=x−116x \cdot 32 = x - 1

Računamo proizvod i grupišemo nepoznate.

512x=x−1  ⟹  511x=−1512x = x - 1 \implies 511x = -1

Dobijamo drugo rešenje za x. x .

x=−1511x = -\frac{1}{511}

Proveravamo da li dobijena rešenja pripadaju domenu. Pošto su oba rešenja različita od 0 i 1, oba su validna. Konačan skup rešenja je:

x∈{−1511,2}x \in \left\{-\frac{1}{511}, 2\right\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti