1881.

Iracionalne jednačine i nejednačine

Prvo određujemo oblast definisanosti (domen) jednačine. Izrazi pod parnim korenima moraju biti nenegativni:

Rešavanjem ovog sistema nejednačina dobijamo domen:

Na osnovu početne jednačine i zbira četvrtih stepena novih promenljivih, formiramo sistem jednačina:

Da bismo lakše rešili sistem, uvodimo nove promenljive $t$ i $s$ kao aritmetičku sredinu i polurazliku promenljivih $u$ i $v :$

Zamenom u prvu jednačinu sistema ($u + v = 2$) računamo vrednost promenljive $t :$

Sada možemo izraziti $u$ i $v$ samo preko promenljive $s :$

Zamenjujemo ove izraze u drugu jednačinu sistema ($u^4 + v^4 = 2$):

Razvijamo binome na četvrti stepen koristeći formulu $(a \pm b)^4 = a^4 \pm 4a^3b + 6a^2b^2 \pm 4ab^3 + b^4 :$

Sabiranjem ova dva izraza, članovi sa neparnim stepenima se potiru:

Oduzimamo 2 sa obe strane i delimo jednačinu sa 2:

Faktorišemo dobijenu jednačinu izdvajanjem $s^2$ ispred zagrade:

Pošto je $s^2 \ge 0$ za svaki realan broj $s ,$ izraz $s^2 + 6$ je uvek striktno pozitivan. Zato jednačina ima samo jedno realno rešenje:

Vraćamo se na izraze za $u$ i $v :$

Koristimo smenu $u = \sqrt[4]{x-2}$ da bismo našli $x :$

Stepenujemo obe strane na četvrti stepen i računamo $x :$

Proveravamo da li rešenje pripada domenu. Pošto $3 \in [2, 4] ,$ rešenje je prihvaćeno.