1871.

Iracionalne jednačine i nejednačine

TEKST ZADATKA

x+x2−1+x−x2−1=2(x+1). \sqrt{x + \sqrt{x^2-1}} + \sqrt{x - \sqrt{x^2-1}} = \sqrt{2(x+1)}.

REŠENJE ZADATKA

Da bismo dokazali ovaj identitet, označićemo levu stranu jednačine sa A A i kvadrirati je. Prvo primećujemo da izrazi pod korenima moraju biti nenegativni, što znači da je x≥1. x \ge 1 .

A=x+x2−1+x−x2−1A = \sqrt{x + \sqrt{x^2-1}} + \sqrt{x - \sqrt{x^2-1}}

Kvadriramo obe strane jednačine.

A2=(x+x2−1+x−x2−1)2A^2 = \left( \sqrt{x + \sqrt{x^2-1}} + \sqrt{x - \sqrt{x^2-1}} \right)^2

Primenjujemo formulu za kvadrat binoma: (a+b)2=a2+2ab+b2. (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 .

A2=(x+x2−1)2+2x+x2−1x−x2−1+(x−x2−1)2A^2 = \left(\sqrt{x + \sqrt{x^2-1}}\right)^2 + 2\sqrt{x + \sqrt{x^2-1}}\sqrt{x - \sqrt{x^2-1}} + \left(\sqrt{x - \sqrt{x^2-1}}\right)^2

Kvadrat i koren se potiru za prvi i treći sabirak.

A2=x+x2−1+2(x+x2−1)(x−x2−1)+x−x2−1A^2 = x + \sqrt{x^2-1} + 2\sqrt{(x + \sqrt{x^2-1})(x - \sqrt{x^2-1})} + x - \sqrt{x^2-1}

Grupišemo slične članove. Članovi x2−1 \sqrt{x^2-1} i −x2−1 -\sqrt{x^2-1} se potiru, a x+x=2x. x + x = 2x .

A2=2x+2(x+x2−1)(x−x2−1)A^2 = 2x + 2\sqrt{(x + \sqrt{x^2-1})(x - \sqrt{x^2-1})}

Pod korenom primenjujemo formulu za razliku kvadrata: (a+b)(a−b)=a2−b2. (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 .

A2=2x+2x2−(x2−1)2A^2 = 2x + 2\sqrt{x^2 - (\sqrt{x^2-1})^2}

Kvadriramo izraz x2−1 \sqrt{x^2-1} pod korenom.

A2=2x+2x2−(x2−1)A^2 = 2x + 2\sqrt{x^2 - (x^2 - 1)}

Sređujemo izraz pod korenom.

A2=2x+2x2−x2+1A^2 = 2x + 2\sqrt{x^2 - x^2 + 1}

Nakon oduzimanja, pod korenom ostaje samo 1. 1 .

A2=2x+21A^2 = 2x + 2\sqrt{1}

Izvlačimo zajednički činilac 2. 2 .

A2=2(x+1)A^2 = 2(x + 1)

Pošto je A A zbir dva pozitivna korena (za x≥1 x \ge 1 ), A A mora biti pozitivno. Zato uzimamo samo pozitivnu vrednost korena.

A=2(x+1)A = \sqrt{2(x + 1)}

Vraćanjem početne smene za A, A , dobijamo traženi identitet.

x+x2−1+x−x2−1=2(x+1)\sqrt{x + \sqrt{x^2-1}} + \sqrt{x - \sqrt{x^2-1}} = \sqrt{2(x+1)}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti