1854. Iracionalne jednačine i nejednačine

Prvo određujemo oblast definisanosti (domen) jednačine. Potkorene veličine moraju biti nenegativne, a imenilac različit od nule:

\begin{cases} 9 - 5x \ge 0 \\ 3 - x > 0 \end{cases}

Rešavamo sistem nejednačina po $x :$

\begin{cases} 5x \le 9 \\ x < 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le \frac{9}{5} \\ x < 3 \end{cases}

Presek ovih uslova daje domen jednačine:

x \in (-\infty, \frac{9}{5}]

Množimo celu jednačinu sa $\sqrt{3-x}$ kako bismo eliminisali razlomak:

\sqrt{9-5x} \cdot \sqrt{3-x} = (\sqrt{3-x})^2 + 6

Sređujemo izraz koristeći pravilo $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ za definisane vrednosti:

\sqrt{(9-5x)(3-x)} = 3 - x + 6

Sređujemo desnu stranu i množimo polinome pod korenom:

\sqrt{27 - 9x - 15x + 5x^2} = 9 - x

Dobijamo jednačinu:

\sqrt{5x^2 - 24x + 27} = 9 - x

Kvadriramo obe strane jednačine uz uslov $9 - x \ge 0 ,$ što je već ispunjeno u domenu $x \le 1.8 :$

5x^2 - 24x + 27 = (9 - x)^2

Razvijamo kvadrat binoma na desnoj strani:

5x^2 - 24x + 27 = 81 - 18x + x^2

Prebacujemo sve članove na levu stranu i formiramo kvadratnu jednačinu:

4x^2 - 6x - 54 = 0

Delimo jednačinu sa 2 radi lakšeg računanja:

2x^2 - 3x - 27 = 0

Računamo diskriminantu kvadratne jednačine:

D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-27) = 9 + 216 = 225

Računamo rešenja kvadratne jednačine:

x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 15}{4}

Dobijamo dva potencijalna rešenja:

x_1 = \frac{18}{4} = 4.5, \quad x_2 = \frac{-12}{4} = -3

Proveravamo da li rešenja pripadaju domenu $x \le 1.8 :$

x_1 = 4.5 \notin (-\infty, 1.8], \quad x_2 = -3 \in (-\infty, 1.8]

Jedino validno rešenje je:

x = -3

1854.Iracionalne jednačine i nejednačine