670.

x+5<1−x \sqrt{x+5}<1-x

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

x+5<1−x \sqrt{x+5}<1-x
REŠENJE ZADATKA

Nejednačina je definisana za:

x+5≥0  ⟹  x≥−5x+5\ge 0 \implies x\ge-5

Jednačina oblika a(x)=b(x)\sqrt{a(x)} = b(x) je ekvivalentna sistemu a(x)=b2(x) ∧ b(x)≥0 .a(x)=b^2(x) \ \land \ b(x)\ge 0 \ . Pošto je izraz pod korenom strogo manji od izraza sa desne strane znaka nejednakosti, izraz 1−x1-x ne sme biti veći ili jednak 00 nego isključivo veći od 0.0.

x+5<(1−x)2∧1−x>0x2−3x−4>0∧x<1x+5<(1-x)^2 \quad\land\quad 1-x>0 \\ x^2-3x-4>0 \quad\land\quad x<1

Rešiti kvadratnu jednačinu po formuli x1,2=−b±b2−4ac2a,x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a}, gde su: a=1,a=1, b=−3b=-3 i c=−4c=-4

x2−3x−4=0x1,2=3±(−3)2−4⋅1⋅(−4)2⋅1x1,2=3±9+162x1,2=3±52x1=4∨x2=−1x^2-3x-4= 0 \\ x_{1,2}=\frac {3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot1\cdot(-4)}} {2\cdot1} \\ x_{1,2}=\frac {3\pm\sqrt{9+16}} {2} \\ x_{1,2}=\frac {3\pm 5} {2} \\ x_1=4\quad \lor \quad x_2=-1

Pošto je a=1>0a=1>0 i D=25>0,D=25>0, kvadratna funkcija x2−5x+6x^2-5x+6 je veća od 0 za:

x∈(−∞,−1) ∪ (4,∞)x\in(-\infty, -1) \ \cup \ (4, \infty)

Pronaći presek rešenja i uslova x∈[−5,1).x\in[-5,1) .

x∈( (−∞,−1) ∪ (4,∞) ) ∩ [−5,1)=[−5,−1)x\in ( \ (-\infty, -1) \ \cup \ (4, \infty) \ ) \ \cap \ [-5,1)=[-5,-1)