689.

Iracionalna jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

x−2+2x−5+x+2+32x−5=72 \sqrt{x-2+\sqrt{2x-5}}+\sqrt{x+2+3\sqrt{2x-5}}=7\sqrt2
REŠENJE ZADATKA

Uvesti smenu t=2x−5t=\sqrt{2x-5} i izraziti xx preko t.t.

2x−5=t2x−5=t2x=t2+52\sqrt{2x-5}=t \\ 2x-5=t^2 \\ x=\frac{t^2+5}2

Izraziti jednačinu preko promenljive t.t.

t2+52−2+t+t2+52+2+3t=72 \sqrt{\frac{t^2+5}2-2+t}+\sqrt{\frac{t^2+5}2+2+3t}=7\sqrt2

Svesti na iste imenioce i srediti izraz.

t2+52−42+2t2+t2+52+42+6t2=72t2+5−4+2t2+t2+5+4+6t2=72t2+2t+12+t2+6t+92=72\sqrt{\frac{t^2+5}2-\frac42+\frac{2t}2}+\sqrt{\frac{t^2+5}2+\frac42+\frac{6t}2}=7\sqrt2 \\ \sqrt{\frac{t^2+5-4+2t}2}+\sqrt{\frac{t^2+5+4+6t}2}=7\sqrt2 \\ \sqrt{\frac{t^2+2t+1}2}+\sqrt{\frac{t^2+6t+9}2}=7\sqrt2 \\

Primeniti formulu za kvadrat zbira: (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)^2=a^2+2ab+b^2

(t+1)22+(t+3)22=72 \sqrt{\frac{(t+1)^2}2}+\sqrt{\frac{(t+3)^2}2}=7\sqrt2

Pomnožiti obe strane jednačine sa 2.\sqrt{2}.

(t+1)22+(t+3)22=72(t+1)2+(t+3)2=14\frac{\sqrt{(t+1)^2}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{(t+3)^2}}{\sqrt{2}}=7\sqrt{2} \\ \sqrt{(t+1)^2} + \sqrt{(t+3)^2} = 14

Primeniti svojstvo apsolutne vrednosti: x2=∣x∣.\sqrt{x^2}=|x|.

∣t+1∣+∣t+3∣=14|t+1|+|t+3|=14

Primeniti definiciju apsolutne vrednosti: ∣a∣={a,ako je  a≥0−a,a<0|a|= \begin {cases} a, \quad \text{ako je}\ \ a \ge 0\\ -a, \quad a < 0 \end {cases}

∣t+1∣={t+1,t+1≥0−(t+1),t+1<0∣t+1∣={t+1,t≥−1−(t+1),t<−1|t+1|= \begin {cases} t+1, \quad t+1 \ge 0\\ -(t+1), \quad t+1 < 0 \end {cases} \\ |t+1|= \begin {cases} t+1, \quad t\ge -1\\ -(t+1), \quad t< -1 \end {cases}
∣t+3∣={t+3,t+3≥0−(t+3),t+3<0∣t+3∣={t+3,t≥−3−(t+3),t<−3 |t+3|=\begin {cases} t+3, \quad t+3\ge 0 \\ -(t+3), \quad t+3<0 \end {cases} \\ |t+3|=\begin {cases} t+3, \quad t\ge -3\\ -(t+3), \quad t<-3 \end {cases}
t∈(−∞,−3)t\in(-\infty, -3)
t∈[−3,−1)t\in[-3,-1)
t∈[−1,∞)t\in[-1,\infty)
∣t+1∣|t+1|
−t−1-t-1
−t−1-t-1
t+1t+1
∣t+3∣|t+3|
−t−3-t-3
t+3t+3
t+3t+3

Rešavanje jednačine razdvojiti na tri slučaja, u zavisnosti od intervala kojem tt pripada.

1.t∈(−∞,−3)2.t∈[−3,−1)3.t∈[−1,∞)1. \quad t\in(-\infty,-3) \\ 2. \quad t\in[-3,-1) \\ 3. \quad t\in[-1, \infty)

1. Kada t∈(−∞,−3) t\in(-\infty, -3) jednačina postaje:

−(t+1)−(t+3)=14−t−1−t−3=14−2t=18t=−9-(t+1)-(t+3)=14 \\ -t-1-t-3=14 \\ -2t=18 \\ t=-9

Pošto −9∈(−∞,−3),-9 \in (-\infin,-3), rešenje jednačine u drugom slučaju je −9.-9.

2. Kada t∈[−3,−1) t\in[-3,-1) jednačina postaje:

−(t+1)+t+3=14−t−1+t+3=142=14-(t+1)+t+3=14 \\ -t-1+t+3=14 \\ 2=14

Pošto je dobijena relacija netačna, zaključuje se da jednačina u drugom slučaju nema rešenja.

3. Kada t∈[−1,∞) t\in[-1, \infin) jednačina postaje:

t+1+t+3=142t=10t=5t+1+t+3=14 \\ 2t=10 \\ t=5

Pošto 5∈[−1,∞),5 \in [-1, \infin), rešenje jednačine u trećem slučaju je 5.5.

Rešenje je jednako uniji rešenja sva tri slučaja.

t={−9,5}t=\{-9, 5\}

Vratiti promenljivu xx umesto t.t.

t={−9,5}x={(−9)2+52, 52+52}x={43,15}t=\{-9, 5\} \\ x=\{\frac{(-9)^2+5}2, \ \frac{5^2+5}2 \} \\ x=\{43, 15\}

Proveriti rešenja jednačine uvrštavanjem dobijenih vrednosti u početni izraz.

43−2+2⋅43−5+43+2+32⋅43−5=41+86−5+45+386−5=41+81+45+381=41+9+45+3⋅9=50+45+27=50+72=52+62=112≠7215−2+2⋅15−5+15+2+32⋅15−5=13+30−5+17+330−5=13+25+17+325=13+5+17+3⋅5=18+17+15=18+32=32+42=72 \sqrt{43-2+\sqrt{2\cdot43-5}}+\sqrt{43+2+3\sqrt{2\cdot43-5}}= \sqrt{41+\sqrt{86-5}}+\sqrt{45+3\sqrt{86-5}}=\sqrt{41+\sqrt{81}}+\sqrt{45+3\sqrt{81}}=\sqrt{41+9}+\sqrt{45+3\cdot9}=\sqrt{50}+\sqrt{45+27}=\sqrt{50}+\sqrt{72}=5\sqrt2+6\sqrt2=11\sqrt2 \not=7\sqrt2 \\ \sqrt{15-2+\sqrt{2\cdot15-5}}+\sqrt{15+2+3\sqrt{2\cdot15-5}}= \sqrt{13+\sqrt{30-5}}+\sqrt{17+3\sqrt{30-5}}= \sqrt{13+\sqrt{25}}+\sqrt{17+3\sqrt{25}}=\sqrt{13+5}+\sqrt{17+3\cdot5}=\sqrt{18}+\sqrt{17+15}=\sqrt{18}+\sqrt{32}=3\sqrt2+4\sqrt2=7\sqrt2

Iz provere se zaključuje da je jedino rešenje jednačine x=15.x=15.

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti