2793.

Inverzne trignometrijske funkcije

TEKST ZADATKA

Izračunati: sin⁡(12arccos⁡19). \sin\left(\frac{1}{2}\arccos\frac{1}{9}\right) .

REŠENJE ZADATKA

Uvedimo smenu α=arccos⁡19. \alpha = \arccos\frac{1}{9} .

Na osnovu definicije arkuskosinusa, važi cos⁡α=19 \cos\alpha = \frac{1}{9} i α∈[0,π]. \alpha \in [0, \pi] .

Pošto je 19>0, \frac{1}{9} > 0 , ugao α \alpha se nalazi u prvom kvadrantu, odnosno α∈(0,π2). \alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) .

Tada se ugao α2 \frac{\alpha}{2} nalazi u intervalu (0,π4), \left(0, \frac{\pi}{4}\right) , pa je njegov sinus pozitivan.

Primenimo formulu za sinus polovine ugla:

sin⁡α2=1−cos⁡α2\sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}

Zamenimo vrednost za cos⁡α \cos\alpha u formulu:

sin⁡α2=1−192\sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \frac{1}{9}}{2}}

Sredimo izraz pod korenom:

sin⁡α2=892=49\sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{\frac{8}{9}}{2}} = \sqrt{\frac{4}{9}}

Izračunamo koren:

sin⁡α2=23\sin\frac{\alpha}{2} = \frac{2}{3}

Konačan rezultat je:

sin⁡(12arccos⁡19)=23\sin\left(\frac{1}{2}\arccos\frac{1}{9}\right) = \frac{2}{3}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti