399.

Geometrijski niz

TEKST ZADATKA

Svi članovi geometrijskog niza su pozitivni. Ako je razlika prvog i petog člana jednaka 15, azbir prvog i trećeg člana jednak 20, naći zbir prvih pet članova.

REŠENJE ZADATKA

Napisati postavku zadatka:

a1−a5=15a_1-a_5=15
a1+a3=20a_1+a_3=20

Primeniti formulu za opšti član geometrijskog niza:

a1(1−q4)=15a_1(1-q^4)=15
a1(1−q2)=20a_1(1-q^2)=20

Primenom formulu za razliku kvadrata dobija se izraz a1(1−q2)(1+q2)=15a_1(1-q^2)(1+q^2)=15u koji se može uvrstiti poznata vrednost:

20(1−q2)=15⇒q2=1420(1-q^2)=15 \rArr q^2=\frac{1}{4}

Korenovanjem se dobijaju dva rešenja q1=12q_1=\frac{1}{2}i q2=−12q_2=-\frac{1}{2}ali se zbog uslova da su svi brojevi pozitivni uzima samo pozitivna vrednost.

Kako je q=12q=\frac{1}{2}onda je a1=16a_1=16

Uvrstiti dobijene vrednosti u formulu za zbir geometrijskog niza Sn=a1⋅1−qn1−qS_n=a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}

S5=31S_5=31

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti