374.

Geometrijski niz

TEKST ZADATKA

Zbir tri uzastopna člana opadajućeg geometrijskog niza je 32\frac{3}{2}i jednak je zbiru njihovih recipročnih vrednosti. Odrediti te brojeve.

REŠENJE ZADATKA

Postaviti zadatak:

a1+a2+a3=32a_1+a_2+a_3=\frac{3}{2}
1a1+1a2+1a3=32\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}= \frac{3}{2}

Primeniti formulu za opšti član geometrijskog niza:

a1(1+q+q2)=32a_1(1+q+q^2)=\frac{3}{2}
q2+q+1a1q2=32\frac{q^2+q+1}{a_1q^2}=\frac{3}{2}

Podeliti izraze:

a1(1+q+q2)1+q+q2a1q2=3232\frac{a_1\cancel{(1+q+q^2)}}{\frac{\cancel{1+q+q^2}}{a_1q^2}}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}

Srediti:

a12q2=1⇒a1q=±1a_1^2q^2=1 \rArr a_1q=\pm1

Ako je a1q=1a_1q=1onda je a1=1qa_1=\frac{1}{q}

Uvrstiti u izraz a1+aq+a1q2=32a_1+a_q+a_1q^2=\frac{3}{2}

1q+1+q=32\frac{1}{q}+1+q=\frac{3}{2}

Sređivanjem izraza dobija se kvadratna jednačina 2q2−q+2=02q^2-q+2=0koja nema rešenja u skupu realnih brojeva.

Ako je a1q=−1a_1q=-1onda je a1=−1qa_1=-\frac{1}{q}

Uvrstiti u izraz a1+aq+a1q2=32a_1+a_q+a_1q^2=\frac{3}{2}

−1q−1−q=32-\frac{1}{q}-1-q=\frac{3}{2}

Sređivanjem izraza dobija se kvadratna jednačina 2q2+5q+2=02q^2+5q+2=0sa rešenjima q1=−2q_1=-2i q2=−12q_2=-\frac{1}{2}

Za rešenje se uzima q2=−12q_2=-\frac{1}{2}jer je upitanju opadajući niz i onda sun brojevi:

a1=2,a2=−1,a3=12a_1=2, a_2=-1, a_3=\frac{1}{2}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti