155. Eksponencijalni izvod

Odrediti prvi izvod funkcije:

y=x^{a^a}+a^{a^x}+a^{x^a}

Primenjuje se pravilo za izvod zbira:

y'=(x^{a^a})'+(a^{a^x})'+(a^{x^a})'

Primenjuje se tablični izvod $(x^n)'=nx^{n-1}, n\isin N$ jer je $a^a$ konstanta:

(x^{a^a})'=a^a*x^{a^a-1}

Koristi se formula za izvod složene funkcije $(f(g(x)))' = f'(g(x)) *g'(x)$ i tabličnog izvoda $(a^x)'=a^x*\ln{a}:$

(a^{a^x})'=a^{a^x}*\ln{a}*(a^x)'

Sređuje se izraz:

(a^{a^x})'=a^{a^x}*\ln{a}*a^x*\ln{a}=a^{a^x+x}*(\ln{a})^2

Koristi se formula za izvod složene funkcije $(f(g(x)))' = f'(g(x)) *g'(x)$ i tabličnog izvoda $(a^x)'=a^x*\ln{a}:$

(a^{x^a})'=a^{x^a}*\ln{a}*(x^a)'

Sređuje se izraz:

(a^{x^a})'=a^{x^a}*\ln{a}*a*x^{a-1}

Uvrstiti u originalnu funkciju:

y'=a^a*x^{a^a-1}+a^{a^x+x}*(\ln{a})^2+a^{x^a}*\ln{a}*a*x^{a-1}

Bitna napomena!

(x)^{x^x}\not =(x^x)^x=x^{x*x}=x^{x^2}

Izvodi eksponencijalnih funkcija 11