Podeli

154.
Eksponencijalni izvod

TEKST ZADATKA

Odrediti prvi izvod funkcije:

y=(1+\frac{1}{x})^x+x^{\sqrt{x}}

REŠENJE ZADATKA

Primenjuje se formula za izvod zbira:

y'=((1+\frac{1}{x})^x)'+(x^{\sqrt{x}})'

Uvode se dve nove funkcije $y_{1}$ i $y_{2}$

y'=y_{1}'+y_{2}'

$y_{1}=(1+\frac{1}{x})^x$

y_{2}=x^{\sqrt{x}}

Da bi traženje prvog izvoda funkcije $y_{1}$ bilo jednostavnije, uzima se prirodni logaritam obe strane:

\ln{y_{1}}=\ln{(1+\frac{1}{x}})^x

Primenjuje se se svojstvo logaritma: $\ln{a^b}=b\ln{a}$

\ln{y_{1}}=x*\ln{(1+\frac{1}{x})}

Sada je potrebno izračunati prvi izvod obe strane jednačine u odnosu na $x:$

(\ln{y_{1}})'=(x*\ln{(1+\frac{1}{x})})'

Računanjem se dobija:

\frac{1}{y_{1}}*y_{1}'=\ln{(1+\frac{1}{x})}-\frac{1}{x+1}

DODATNO OBJAŠNJENJE

Prvi izvod funkcije $\ln{y_{1}}$ određuje se pravilima za složeni izvod:

(\ln{y_{1}})'=\frac{1}{y_{1}}*y_{1}'

Prvi izvod desne strane određuje se primenom pravila za izvod proizvoda:

(x*\ln{(1+\frac{1}{x}}))'=x'*\ln{(1+\frac{1}{x})}+x*(\ln{(1+\frac{1}{x})})'

Prvi izvod funkcije $(\ln{(1+\frac{1}{x})})$ određuje se primenom pravila za izvod složene funkcije:

(\ln{(1+\frac{1}{x})})'=\frac{1}{1+\frac{1}{x}}*(1+\frac{1}{x})'

Sređuje se izraz:

(x*\ln{(1+\frac{1}{x}}))'=\ln{(1+\frac{1}{x})}+\frac{x}{\frac{x+1}{x}}*(-\frac{1}{x^2})

(x*\ln{(1+\frac{1}{x}}))'=\ln{(1+\frac{1}{x})}+\frac{\cancel{x^2}}{x+1}*(-\frac{1}{\cancel{x^2}})

Kako bi se izolovalo $y_{1}'$ obe strane jednačine množe se sa $y_{1}:$

y_{1}'=y_{1}*(\ln{(1+\frac{1}{x})}-\frac{1}{x+1})

Zamenjuje se $y_{1}$ iz funkcije:

y_{1}'=(1+\frac{1}{x})^x*(\ln{(1+\frac{1}{x})}-\frac{1}{x+1})

Da bi traženje izvoda funkcije $y_{2}$ bilo jednostavnije, uzima se prirodni logaritam obe strane:

\ln{y_{2}}=\ln{x^{\sqrt{x}}}

Primenjuje se se svojstvo logaritma: $\ln{a^b}=b\ln{a}$

\ln{y_{2}}=\sqrt{x}*\ln{x}

Sada je potrebno izračunati prvi izvod obe strane jednačine:

(\ln{y_{2}})'=(\sqrt{x}*\ln{x})'

Računanjem se dobije:

\frac{1}{y_{2}}*y_{2}'=\frac{1}{2\sqrt{x}}*\ln{x}+\sqrt{x}*\frac{1}{x}

DODATNO OBJAŠNJENJE

Prvi izvod funkcije $\ln{y_{2}}$ određuje se pravilima za složeni izvod:

(\ln{y_{2}})'=\frac{1}{y_{2}}*y'_{2}

Prvi izvod desne strane određuje se primenom pravila za izvod proizvoda:

(\sqrt{x}*\ln{x})'=(\sqrt{x})'*\ln{x}+\sqrt{x}*(\ln{x})'

Kako bi se izolovalo $y_{2}'$ obe strane jednačine množe se sa $y_{2}:$

y_{2}'=y_{2}*(\frac{1}{2\sqrt{x}}*\ln{x}+x^{\frac{1}{2}-1})

Zamenjuje se $y_{2}$ iz funkcije:

y_{2}'=x^{\sqrt{x}}*\frac{\ln{x}+1}{2\sqrt{x}}

Vraća se $y_{1}$ i $y_{2}$ u originalnu funkciju:

y'=(1+\frac{1}{x})^x*(\ln{(1+\frac{1}{x})}-\frac{1}{x+1})+x^{\sqrt{x}}*\frac{\ln{x}+1}{2\sqrt{x}}

154.Eksponencijalni izvod