Podeli

153.
Eksponencijalni izvod

TEKST ZADATKA

Odrediti prvi izvod funkcije:

y=(\sin{x})^x*x^{\sin{x}}

REŠENJE ZADATKA

Primenjuje se pravilo za izvod proizvoda:

y'=((\sin{x})^x)'*x^{\sin{x}}+(\sin{x})^x*(x^{\sin{x}})'

Uvode se dve nove funkcije $y_{1}, y_{2}$

y_{1}=(\sin{x})^x

y_{2}=x^{\sin{x}}

Da bi traženje izvoda za funkciju $y_{1}$ bilo jednostavnije, uzima se prirodni logaritam obe strane:

\ln{y_{1}}=\ln{(\sin{x})^x}

Primenjuje se se svojstvo logaritma: $\ln{a^b}=b\ln{a}$

\ln{y_{1}}=x*\ln{\sin{x}}

Sada je potrebno izračunati prvi izvod obe strane jednačine u odnosu na $x$

(\ln{y_{1}})'=(x*\ln{\sin{x}})'

Računanjem izvoda dobija se:

\frac{1}{y_{1}}*y_{1}'=\ln{\sin{x}}+\frac{x*\cos{x}}{\sin{x}}

DODATNO OBJAŠNJENJE

Prvi izvod funkcije $\ln{y_{1}}$ određuje se pravilima za složeni izvod:

(\ln{y_{1}})'=\frac{1}{y_{1}}*y'_{1}

Prvi izvod desne strane određuje se primenom pravila za izvod proizvoda:

(x*\ln{\sin{x}})'=x'*\ln{\sin{x}}+x*(\ln{\sin{x}})'

Prvi izvod funkcije $\ln{\sin{x}}$ određuje se primenom pravila za izvod složene funkcije:

(\ln{\sin{x}})'=\frac{1}{\sin{x}}*(\sin{x})'=\frac{\cos{x}}{\sin{x}}

Računanjem izvoda desne strane dobija se:

(x*\ln{\sin{x}})=\ln{\sin{x}}+\frac{x*\cos{x}}{\sin{x}}

Kako bi se izolovalo $y_{1}'$ obe strane jednačine množe se sa $y_{1}:$

y_{1}'=y_{1}*(\ln{\sin{x}}+\frac{x*\cos{x}}{\sin{x}})

Zamenjuje se $y_{1}$ iz početne funkcije:

y_{1}'=(\sin{x})^x*(\ln{\sin{x}}+\frac{x*\cos{x}}{\sin{x}})

Da bi traženje izvoda za funkciju $y_{2}$ bilo jednostavnije, uzima se prirodni logaritam obe strane:

\ln{y_{2}}=\ln{x^{\sin{x}}}

Primenjuje se se svojstvo logaritma: $\ln{a^b}=b\ln{a}$

\ln{y_{2}}=\sin{x}*\ln{x}

Sada je potrebno izračunati prvi izvod obe strane:

(\ln{y_{2}})'=(\sin{x}*\ln{x})'

Računanjem se dobija:

\frac{1}{y_{2}}*y_{2}'=\cos{x}*\ln{x}+\frac{\sin{x}}{x}

DODATNO OBJAŠNJENJE

Prvi izvod funkcije $\ln{y_{2}}$ određuje se pravilima za složeni izvod:

(\ln{y_{2}})'=\frac{1}{y_{2}}*y'_{2}

Prvi izvod desne strane određuje se primenom pravila za izvod proizvoda:

(\sin{x}*\ln{x})'=(\sin{x})'*\ln{x}+\sin{x}*(\ln{x})'=\cos{x}*\ln{x}+\frac{\sin{x}}{x}

Kako bi se izolovalo $y_{2'}$ obe strane jednačine množe se sa $y_{2}:$

y_{2}'=y_{2}*(\cos{x}*\ln{x}+\frac{\sin{x}}{x})

Zamenjuje se $y_{2}$ iz funkcije:

y_{2}'=x^{\sin{x}}*(\cos{x}*\ln{x}+\frac{\sin{x}}{x})

Vratiti $y_{1}$ i $y_{2}$ u početnu funkciju:

y'=y_{1}'*x^{\sin{x}}+(\sin{x})^x*y_{2}'

y'=(\sin{x})^x*(\ln{\sin{x}}+\frac{x*\cos{x}}{\sin{x}})*x^{\sin{x}}+(\sin{x})^x*x^{\sin{x}}*(\cos{x}*\ln{x}+\frac{\sin{x}}{x})

Sređuje se izraz:

y'=(\sin{x})^x*x^{\sin{x}}*(\ln{\sin{x}}+\frac{x*\cos{x}}{\sin{x}}+\cos{x}*\ln{x}+\frac{\sin{x}}{x})

153.Eksponencijalni izvod