Podeli

138.
Zadatak

TEKST ZADATKA

Reši jednačinu:

(log_{\frac{1}{2}}{(4*x)})^2 + log_{2}{\frac{x^2}{8}} = 8

REŠENJE ZADATKA

Jednačina ima smisla jedino za x>0.

x \in (0,\infty)

Primeniti osnovnu osobinu operacija sa stepenima: $a^{-m}={\frac 1 {a^m}} ,$ $a{=}\mathllap{/\,} 0 :$

(log_{2^{-1}}{(4*x)})^2 + log_{2}{\frac{x^2}{8}} = 8

Primeniti osnovnu osobinu logaritama: $\log_{a^s}{x}=\frac 1 s\log_{a}{x}$ :

(-log_{2}{(4x)})^2 + log_{2}{\frac{x^2}{8}} = 8

Primeniti osnovnu osobinu logaritama: $\log_{a}{\frac x y}=\log_{a}{x}-\log_{a}{y}$ :

(log_{2}{(4x)})^2 + log_{2}{x^2}-log_{2}{8} = 8

Primeniti osnovnu osobinu logaritama: $\log_{a}{x y}=\log_{a}{x}+\log_{a}{y}$ :

(log_{2}{4}+\log_{2}x)^2 + log_{2}{x^2}-log_{2}{8} = 8

Primeniti osnovnu osobinu logaritama: $\log_{a}{x^s}= s\log_{a}{x}$ :

(2log_{2}{2}+\log_{2}x)^2 + 2log_{2}{x}-3log_{2}{2} = 8

DODATNO OBJAŠNJENJE

(log_{2}{2^2}+\log_{2}x)^2 + 2log_{2}{x}-log_{2}{2^3} = 8

Primeniti osnovnu osobinu logaritama: $\log_{a}{a}= 1$ :

(2+\log_{2}x)^2 + 2log_{2}{x}-3= 8

Primeniti definiciju za kvadrat binoma:

1+6log_{2}{x}+(log_{2}{x})^2=8

DODATNO OBJAŠNJENJE

4+4log_{2}{x}+(log_{2}{x})^2+2log_{2}{x}-3=8

Prebaciti sve činioce izraza na jednu stranu znaka jednakosti, kako bi na drugoj ostala 0:

(log_{2}{x})^2+6log_{2}{x} -7=0

DODATNO OBJAŠNJENJE

1+6log_{2}{x}+(log_{2}{x})^2-8=0

Uvesti smenu:

log_{2}{x}=t

Uvrstiti smenu u izraz:

t^2+6t-7=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a}:$

t_{1,2}=\frac {-6\pm\sqrt{6^2-4*1*(-7)}} {2*1} \implies t_1=1, t_2=-7

DODATNO OBJAŠNJENJE

t_{1,2}=\frac {-6\pm\sqrt{36+28}} 2

t_{1,2}=\frac {-6\pm\sqrt{64}} 2

t_{1,2}=\frac {-6\pm8} 2

Vratiti smenu i uvrstiti dobijena rešenja:

log_{2}{x_1}=1, log_{2}{x_2}=-7

Rešiti jednačine.

x_1=2, x_2=\frac 1 {128}

138.Zadatak