2065.

Eksponencijalne jednačine i nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti eksponencijalnu nejednačinu: 41−x2+22−x2>3. 4^{1-x^2} + 2^{2-x^2} > 3 .

41−x2+22−x2>34^{1-x^2} + 2^{2-x^2} > 3
REŠENJE ZADATKA

Prvo transformišemo osnove stepena tako da dobijemo zajedničku osnovu 2. 2 . Koristimo pravilo (am)n=am⋅n (a^m)^n = a^{m \cdot n} i am+n=am⋅an. a^{m+n} = a^m \cdot a^n .

(22)1−x2+22⋅2−x2>322−2x2+4⋅2−x2>3(2^2)^{1-x^2} + 2^2 \cdot 2^{-x^2} > 3 \\ 2^{2-2x^2} + 4 \cdot 2^{-x^2} > 3

Dodatno sređujemo prvi član koristeći pravilo am−n=aman. a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} .

2222x2+42x2>34(2x2)2+42x2−3>0\frac{2^2}{2^{2x^2}} + \frac{4}{2^{x^2}} > 3 \\ \frac{4}{(2^{x^2})^2} + \frac{4}{2^{x^2}} - 3 > 0

Uvodimo smenu t=12x2. t = \frac{1}{2^{x^2}} . Primetimo da je 2x2≥20=1 2^{x^2} \ge 2^0 = 1 za svako realno x, x , pa je 0<t≤1. 0 < t \le 1 .

4t2+4t−3>04t^2 + 4t - 3 > 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu 4t2+4t−3=0 4t^2 + 4t - 3 = 0 da bismo odredili nule kvadratnog trinoma.

t1,2=−4±16−4⋅4⋅(−3)2⋅4=−4±648t1=−4−88=−32,t2=−4+88=12t_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot (-3)}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{8} \\ t_1 = \frac{-4 - 8}{8} = -\frac{3}{2}, \quad t_2 = \frac{-4 + 8}{8} = \frac{1}{2}

Kvadratna funkcija 4t2+4t−3 4t^2 + 4t - 3 je pozitivna van intervala korena.

t∈(−∞,−32)∪(12,+∞)t \in (-\infty, -\frac{3}{2}) \cup (\frac{1}{2}, +\infty)

Uzimajući u obzir uslov smene 0<t≤1, 0 < t \le 1 , dobijamo interval za t: t :

t∈(12,1]t \in (\frac{1}{2}, 1]

Vraćamo smenu t=2−x2. t = 2^{-x^2} . Rešavamo nejednačinu po x: x :

2−x2>122−x2>2−12^{-x^2} > \frac{1}{2} \\ 2^{-x^2} > 2^{-1}

Pošto je osnova 2>1, 2 > 1 , funkcija je rastuća, pa se znak nejednakosti ne menja pri prelasku na eksponente.

−x2>−1x2<1x2−1<0-x^2 > -1 \\ x^2 < 1 \\ x^2 - 1 < 0
x∈(−∞,−1)x \in (-\infty, -1)
x∈(−1,1)x \in (-1, 1)
x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty)
x−1x-1
−-
−-
++
x+1x+1
−-
++
++
x2−1x^2-1
++
−-
++

Konačno rešenje nejednačine je interval gde je izraz negativan.

x∈(−1,1)x \in (-1, 1)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti