2064.

Eksponencijalne jednačine i nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti eksponencijalnu nejednačinu: 2x+2−x+1−3<0. 2^x + 2^{-x+1} - 3 < 0 .

2x+2−x+1−3<02^x + 2^{-x+1} - 3 < 0
REŠENJE ZADATKA

Prvo transformišemo drugi sabirak koristeći pravilo za stepenovanje am+n=am⋅an. a^{m+n} = a^m \cdot a^n .

2x+2−x⋅21−3<02x+22x−3<02^x + 2^{-x} \cdot 2^1 - 3 < 0 \\ 2^x + \frac{2}{2^x} - 3 < 0

Uvodimo smenu t=2x. t = 2^x . Kako je eksponencijalna funkcija uvek pozitivna, važi uslov t>0. t > 0 .

t+2t−3<0t + \frac{2}{t} - 3 < 0

Pomnožimo celu nejednačinu sa t t (pošto je t>0, t > 0 , smer nejednakosti se ne menja) i sredimo izraz u kvadratni oblik.

t2+2−3t<0t2−3t+2<0t^2 + 2 - 3t < 0 \\ t^2 - 3t + 2 < 0

Računamo nule kvadratnog trinoma t2−3t+2=0 t^2 - 3t + 2 = 0 koristeći kvadratnu formulu.

t1,2=−(−3)±(−3)2−4⋅1⋅22⋅1t1,2=3±9−82t1=1,t2=2t_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} \\ t_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} \\ t_1 = 1, \quad t_2 = 2
t∈(0,1)t \in (0, 1)
t∈(1,2)t \in (1, 2)
t∈(2,+∞)t \in (2, +\infty)
t−1t-1
− -
+ +
+ +
t−2t-2
− -
− -
+ +
t2−3t+2t^2-3t+2
+ +
− -
+ +

Iz tabele vidimo da je kvadratni izraz negativan za t∈(1,2). t \in (1, 2) . Sada vraćamo smenu.

1<t<21<2x<21 < t < 2 \\ 1 < 2^x < 2

Zapišemo brojeve 1 i 2 kao stepene osnove 2.

20<2x<212^0 < 2^x < 2^1

Pošto je osnova a=2>1, a = 2 > 1 , funkcija je rastuća, pa se znak nejednakosti zadržava pri prelasku na eksponente.

0<x<10 < x < 1

Konačno rešenje nejednačine je interval:

x∈(0,1)x \in (0, 1)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti