2063. Eksponencijalne jednačine i nejednačine

Koristimo pravila za stepenovanje $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ i $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ kako bismo transformisali levu stranu nejednačine.

7^1 \cdot 7^x + \frac{7^1}{7^x} < 50

Uvodimo smenu $t = 7^x .$ Budući da je osnova stepena pozitivna, mora važiti $t > 0 .$

7t + \frac{7}{t} < 50

Množimo celu nejednačinu sa $t$ (pošto je $t > 0 ,$ smer nejednakosti ostaje isti) i prebacujemo sve članove na levu stranu.

7t^2 - 50t + 7 < 0

Rešavamo odgovarajuću kvadratnu jednačinu $7t^2 - 50t + 7 = 0$ pomoću kvadratne formule.

t_{1,2} = \frac{50 \pm \sqrt{(-50)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 7}}{2 \cdot 7} = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 196}}{14} = \frac{50 \pm 48}{14}

Dobijamo rešenja za $t :$

t_1 = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}, \quad t_2 = \frac{98}{14} = 7

Kvadratna funkcija $7t^2 - 50t + 7$ je negativna između svojih nula.

\frac{1}{7} < t < 7

Vraćamo smenu $t = 7^x .$

\frac{1}{7} < 7^x < 7

Izražavamo sve članove kao stepene sa osnovom 7.

7^{-1} < 7^x < 7^1

Pošto je osnova $7 > 1 ,$ funkcija je rastuća, pa se znakovi nejednakosti zadržavaju pri poređenju eksponenata.

-1 < x < 1

Konačno rešenje zapisujemo u obliku intervala.

x \in (-1, 1)

2063.Eksponencijalne jednačine i nejednačine