Eksponencijalna nejednačina sa osnovama 2 i 5

Primenjujemo pravilo stepenovanja $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ kako bismo izdvojili zajedničke faktore na obe strane nejednačine.

2^x \cdot 2^2 - 2^x \cdot 2^3 - 2^x \cdot 2^4 > 5^x \cdot 5^1 - 5^x \cdot 5^2

Izvlačimo zajedničke faktore $2^x$ sa leve strane i $5^x$ sa desne strane nejednačine.

2^x (2^2 - 2^3 - 2^4) > 5^x (5^1 - 5^2)

Računamo vrednosti u zagradama.

2^x (4 - 8 - 16) > 5^x (5 - 25) \\ 2^x (-20) > 5^x (-20)

Delimo obe strane nejednačine brojem $-20 .$ Budući da delimo negativnim brojem, smer znaka nejednakosti se okreće.

2^x < 5^x

Delimo celu nejednačinu sa $5^x .$ Pošto je $5^x$ uvek pozitivno za svako realno $x ,$ znak nejednakosti ostaje isti.

\frac{2^x}{5^x} < 1

Koristimo osobinu stepenovanja količnika i zapisujemo broj $1$ kao stepen sa osnovom $\frac{2}{5} .$

\left(\frac{2}{5}\right)^x < \left(\frac{2}{5}\right)^0

Pošto je osnova $a = \frac{2}{5}$ manja od $1$ ( $0 < \frac{2}{5} < 1$ ), funkcija je opadajuća, pa se pri prelasku na eksponente znak nejednakosti ponovo okreće.

x > 0

Konačno rešenje zapisujemo u obliku intervala.

x \in (0, +\infty)

Započni učenje

Privatni časovi

491.g

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci