2023. Eksponencijalne jednačine i nejednačine

Primećujemo da se osnove mogu zapisati kao stepeni brojeva $4$ i $9 .$ Znamo da je $16 = 4^2 ,$ $81 = 9^2$ i $36 = 4 \cdot 9 .$

3 \cdot (4^2)^x + 2 \cdot (9^2)^x = 5 \cdot (4 \cdot 9)^x

Primenom pravila za stepenovanje, jednačinu možemo prepisati u obliku homogene eksponencijalne jednačine:

3 \cdot (4^x)^2 - 5 \cdot 4^x \cdot 9^x + 2 \cdot (9^x)^2 = 0

Delimo celu jednačinu sa $(9^x)^2 ,$ što smemo da uradimo jer je $(9^x)^2 > 0$ za svako realno $x .$

3 \cdot \frac{(4^x)^2}{(9^x)^2} - 5 \cdot \frac{4^x \cdot 9^x}{(9^x)^2} + 2 \cdot \frac{(9^x)^2}{(9^x)^2} = 0

Nakon skraćivanja, zapisujemo razlomke pod zajedničkim izložiocem:

3 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^{2x} - 5 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^x + 2 = 0

Uvodimo smenu $t = \left(\frac{4}{9}\right)^x ,$ uz uslov $t > 0 .$

3t^2 - 5t + 2 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu po $t .$

t_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{6} = \frac{5 \pm 1}{6}

Dobijamo dva rešenja za $t ,$ i oba su pozitivna, pa zadovoljavaju uslov $t > 0 .$

t_1 = 1, \quad t_2 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

Vraćamo smenu za prvo rešenje $t_1 = 1 .$

\left(\frac{4}{9}\right)^x = 1

Bilo koji broj različit od nule stepenovan nulom daje $1 .$

x_1 = 0

Vraćamo smenu za drugo rešenje $t_2 = \frac{2}{3} .$

\left(\frac{4}{9}\right)^x = \frac{2}{3}

Primećujemo da je $\frac{4}{9} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 ,$ pa jednačinu možemo zapisati kao:

\left(\left(\frac{2}{3}\right)^2\right)^x = \frac{2}{3} \implies \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} = \left(\frac{2}{3}\right)^1

Izjednačavanjem izložilaca dobijamo drugo rešenje.

2x = 1 \implies x_2 = \frac{1}{2}

Konačan skup rešenja jednačine je:

x \in \left\{ 0, \frac{1}{2} \right\}

2023.Eksponencijalne jednačine i nejednačine