2022.

Eksponencijalne jednačine i nejednačine

TEKST ZADATKA

Reši eksponencijalnu jednačinu:

4⋅22x−6x=18⋅32x4 \cdot 2^{2x} - 6^x = 18 \cdot 3^{2x}
REŠENJE ZADATKA

Primetimo da se jednačina može zapisati u obliku homogene eksponencijalne jednačine. Prvo, primenimo pravila za stepenovanje na izraz 6x 6^x i prebacimo sve članove na levu stranu.

4⋅22x−2x⋅3x−18⋅32x=04 \cdot 2^{2x} - 2^x \cdot 3^x - 18 \cdot 3^{2x} = 0

Podelimo celu jednačinu sa 32x 3^{2x} (što je uvek veće od nule) kako bismo dobili jednačinu po jednoj osnovi.

4⋅22x32x−2x⋅3x32x−18⋅32x32x=04 \cdot \frac{2^{2x}}{3^{2x}} - \frac{2^x \cdot 3^x}{3^{2x}} - 18 \cdot \frac{3^{2x}}{3^{2x}} = 0

Pojednostavimo razlomke koristeći pravila za stepenovanje.

4⋅(23)2x−(23)x−18=04 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} - \left(\frac{2}{3}\right)^x - 18 = 0

Uvedemo smenu t=(23)x, t = \left(\frac{2}{3}\right)^x , uz uslov t>0. t > 0 .

4t2−t−18=04t^2 - t - 18 = 0

Rešimo dobijenu kvadratnu jednačinu po t. t .

t1,2=−(−1)±(−1)2−4⋅4⋅(−18)2⋅4t_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-18)}}{2 \cdot 4}

Računamo vrednost pod korenom.

t1,2=1±1+2888=1±2898=1±178t_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 288}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{289}}{8} = \frac{1 \pm 17}{8}

Odredimo rešenja za t. t .

t1=188=94,t2=−168=−2t_1 = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}, \quad t_2 = \frac{-16}{8} = -2

Zbog uslova t>0, t > 0 , odbacujemo rešenje t2=−2. t_2 = -2 . Zadržavamo samo t1=94 t_1 = \frac{9}{4} i vratimo smenu.

(23)x=94\left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{9}{4}

Zapišimo desnu stranu kao stepen osnove 23. \frac{2}{3} .

(23)x=(32)2=(23)−2\left(\frac{2}{3}\right)^x = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^{-2}

Pošto su osnove jednake, izjednačimo izložioce.

x=−2x = -2

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti