2002. Eksponencijalne jednačine i nejednačine

Zbog kvadratnog korena, izraz pod korenom mora biti nenegativan. Postavljamo uslov definisanosti jednačine:

x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2

Primetimo da se osnova $4$ može zapisati kao $2^2 ,$ pa jednačinu možemo prepisati u obliku:

(2^{\sqrt{x-2}})^2 - 10 \cdot 2^{\sqrt{x-2}} + 16 = 0

Uvodimo smenu $t = 2^{\sqrt{x-2}} .$ Pošto je eksponencijalna funkcija uvek pozitivna, važi $t > 0 .$ Jednačina postaje:

t^2 - 10t + 16 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu po $t :$

t_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2} = \frac{10 \pm 6}{2}

Dobijamo dva rešenja za $t ,$ i oba su pozitivna:

t_1 = 2, \quad t_2 = 8

Vraćamo smenu za prvo rešenje $t_1 = 2 :$

2^{\sqrt{x-2}} = 2^1

Izjednačavamo izložioce i rešavamo po $x :$

\sqrt{x-2} = 1 \implies x - 2 = 1 \implies x = 3

Vraćamo smenu za drugo rešenje $t_2 = 8 :$

2^{\sqrt{x-2}} = 8 \implies 2^{\sqrt{x-2}} = 2^3

Izjednačavamo izložioce i rešavamo po $x :$

\sqrt{x-2} = 3 \implies x - 2 = 3^2 \implies x - 2 = 9 \implies x = 11

Oba dobijena rešenja, $x = 3$ i $x = 11 ,$ zadovoljavaju početni uslov definisanosti $x \ge 2 .$ Konačan skup rešenja je:

x \in \{3, 11\}

2002.Eksponencijalne jednačine i nejednačine