2020. Eksponencijalne jednačine i nejednačine

Ovo je homogena eksponencijalna jednačina. Osnove stepena možemo zapisati kao $9 = 3^2 ,$ $6 = 2 \cdot 3$ i $4 = 2^2 .$

12 \cdot 3^{2x} - 35 \cdot 2^x \cdot 3^x + 18 \cdot 2^{2x} = 0

Delimo celu jednačinu sa $2^{2x}$ (što je uvek veće od nule) kako bismo dobili jednačinu po jednoj osnovi.

12 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{2x} - 35 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x + 18 = 0

Uvodimo smenu $t = \left(\frac{3}{2}\right)^x ,$ pri čemu je $t > 0 .$

12t^2 - 35t + 18 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu. Prvo računamo diskriminantu.

D = (-35)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 18 = 1225 - 864 = 361

Nalazimo rešenja za $t .$

t_{1,2} = \frac{35 \pm \sqrt{361}}{2 \cdot 12} = \frac{35 \pm 19}{24}

Računamo vrednosti za $t_1$ i $t_2 .$

t_1 = \frac{54}{24} = \frac{9}{4}, \quad t_2 = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}

Vraćamo smenu za prvo rešenje $t_1 = \frac{9}{4} .$

\left(\frac{3}{2}\right)^x = \frac{9}{4}

Zapisujemo $\frac{9}{4}$ kao stepen osnove $\frac{3}{2}$ i nalazimo prvo rešenje.

\left(\frac{3}{2}\right)^x = \left(\frac{3}{2}\right)^2 \implies x_1 = 2

Vraćamo smenu za drugo rešenje $t_2 = \frac{2}{3} .$

\left(\frac{3}{2}\right)^x = \frac{2}{3}

Zapisujemo $\frac{2}{3}$ kao stepen osnove $\frac{3}{2}$ i nalazimo drugo rešenje.

\left(\frac{3}{2}\right)^x = \left(\frac{3}{2}\right)^{-1} \implies x_2 = -1

Konačna rešenja polazne jednačine su:

x \in \{-1, 2\}

2020.Eksponencijalne jednačine i nejednačine