2001.

Eksponencijalne jednačine i nejednačine

TEKST ZADATKA

Reši jednačinu:

3x+2+9x+1=8103^{x+2} + 9^{x+1} = 810
REŠENJE ZADATKA

Prvo, zapisujemo broj 9 9 kao stepen broja 3. 3 .

3x+2+(32)x+1=8103^{x+2} + (3^2)^{x+1} = 810

Primenjujemo pravilo za stepenovanje stepena (am)n=am⋅n. (a^m)^n = a^{m \cdot n} .

3x+2+32x+2=8103^{x+2} + 3^{2x+2} = 810

Rastavljamo stepene koristeći pravilo am+n=am⋅an. a^{m+n} = a^m \cdot a^n .

3x⋅32+32x⋅32=8103^x \cdot 3^2 + 3^{2x} \cdot 3^2 = 810

Računamo vrednost za 32 3^2 i delimo celu jednačinu sa 9. 9 .

9⋅3x+9⋅32x=810  ⟹  3x+32x=909 \cdot 3^x + 9 \cdot 3^{2x} = 810 \implies 3^x + 3^{2x} = 90

Uvodimo smenu t=3x, t = 3^x , uz uslov da je t>0. t > 0 .

t+t2=90t + t^2 = 90

Zapisujemo jednačinu u standardnom obliku kvadratne jednačine.

t2+t−90=0t^2 + t - 90 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po t. t .

t1,2=−1±12−4⋅1⋅(−90)2=−1±1+3602=−1±192t_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 360}}{2} = \frac{-1 \pm 19}{2}

Dobijamo dva rešenja za t. t .

t1=9,t2=−10t_1 = 9, \quad t_2 = -10

Pošto eksponencijalna funkcija uvek uzima pozitivne vrednosti (t>0 t > 0 ), odbacujemo rešenje t2=−10. t_2 = -10 . Zadržavamo samo t=9 t = 9 i vraćamo se na smenu.

3x=93^x = 9

Zapisujemo 9 9 kao stepen broja 3 3 i izjednačavamo izložioce.

3x=32  ⟹  x=23^x = 3^2 \implies x = 2

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti