2000. Eksponencijalne jednačine i nejednačine

Primenjujemo pravila za stepenovanje kako bismo pojednostavili jednačinu:

2 \cdot 2^{2x} - 21 \cdot 2^{-(2x+3)} - \frac{43}{16} = 0

Sređujemo izraz sa negativnim izložiocem:

2 \cdot 2^{2x} - 21 \cdot 2^{-2x} \cdot 2^{-3} - \frac{43}{16} = 0

Zamenjujemo $2^{-3}$ sa $\frac{1}{8} :$

2 \cdot 2^{2x} - \frac{21}{8} \cdot \frac{1}{2^{2x}} - \frac{43}{16} = 0

Uvodimo smenu $t = 2^{2x} ,$ pri čemu mora da važi $t > 0 :$

2t - \frac{21}{8t} - \frac{43}{16} = 0

Množimo celu jednačinu sa $16t$ kako bismo se oslobodili razlomaka:

32t^2 - 42 - 43t = 0

Sređujemo jednačinu u standardni kvadratni oblik:

32t^2 - 43t - 42 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $t :$

t_{1,2} = \frac{43 \pm \sqrt{(-43)^2 - 4 \cdot 32 \cdot (-42)}}{2 \cdot 32}

Računamo vrednost pod korenom:

t_{1,2} = \frac{43 \pm \sqrt{1849 + 5376}}{64} = \frac{43 \pm \sqrt{7225}}{64}

Nalazimo rešenja za $t :$

t_{1,2} = \frac{43 \pm 85}{64}

Računamo pojedinačne vrednosti:

t_1 = \frac{128}{64} = 2, \quad t_2 = -\frac{42}{64} = -\frac{21}{32}

Pošto mora važiti $t > 0 ,$ odbacujemo negativno rešenje. Vraćamo se na smenu za $t_1 = 2 :$

2^{2x} = 2

Izjednačavamo izložioce:

2x = 1

Nalazimo konačno rešenje za $x :$

x = \frac{1}{2}

2000.Eksponencijalne jednačine i nejednačine