1998. Eksponencijalne jednačine i nejednačine

Primenjujemo pravila za stepenovanje $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ i $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$ kako bismo razdvojili stepene.

2^2 \cdot 2^x - 2^2 \cdot 2^{-x} = 15

Računamo vrednost stepena $2^2$ i zapisujemo $2^{-x}$ kao razlomak koristeći pravilo $a^{-n} = \frac{1}{a^n} .$

4 \cdot 2^x - 4 \cdot \frac{1}{2^x} = 15

Uvodimo smenu $t = 2^x .$ Pošto je eksponencijalna funkcija uvek pozitivna, važi uslov $t > 0 .$

4t - 4 \cdot \frac{1}{t} = 15

Množimo celu jednačinu sa $t$ kako bismo se oslobodili razlomka i prebacujemo sve članove na levu stranu.

4t^2 - 15t - 4 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu po $t .$

t_{1,2} = \frac{-(-15) \pm \sqrt{(-15)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4)}}{2 \cdot 4}

Računamo vrednost pod korenom.

t_{1,2} = \frac{15 \pm \sqrt{225 + 64}}{8} = \frac{15 \pm \sqrt{289}}{8} = \frac{15 \pm 17}{8}

Određujemo rešenja kvadratne jednačine.

t_1 = \frac{15 + 17}{8} = 4, \quad t_2 = \frac{15 - 17}{8} = -\frac{1}{4}

Zbog uslova $t > 0 ,$ odbacujemo negativno rešenje $t_2 = -\frac{1}{4} .$ Zadržavamo samo $t = 4$ i vraćamo smenu.

2^x = 4

Zapisujemo broj $4$ kao stepen osnove $2 .$

2^x = 2^2

Pošto su osnove jednake, izjednačavamo izložioce.

x = 2

1998.Eksponencijalne jednačine i nejednačine