1997.

Eksponencijalne jednačine i nejednačine

TEKST ZADATKA

Reši jednačinu:

4x+x2−2−3⋅2x−1+x2−2=104^{x+\sqrt{x^2-2}} - 3 \cdot 2^{x-1+\sqrt{x^2-2}} = 10
REŠENJE ZADATKA

Određujemo domen jednačine. Izraz pod korenom mora biti nenegativan:

x2−2≥0x^2 - 2 \ge 0

Rešavanjem ove nejednačine dobijamo uslov za x: x :

x∈(−∞,−2]∪[2,+∞)x \in (-\infty, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, +\infty)

Uvodimo smenu y=x+x2−2. y = x + \sqrt{x^2-2} . Jednačina postaje:

4y−3⋅2y−1=104^y - 3 \cdot 2^{y-1} = 10

Zapisujemo 4y 4^y kao (2y)2 (2^y)^2 i 2y−1 2^{y-1} kao 2y2: \frac{2^y}{2} :

(2y)2−32⋅2y−10=0(2^y)^2 - \frac{3}{2} \cdot 2^y - 10 = 0

Uvodimo novu smenu t=2y, t = 2^y , pri čemu mora važiti t>0. t > 0 . Dobijamo kvadratnu jednačinu:

t2−32t−10=0t^2 - \frac{3}{2}t - 10 = 0

Množimo jednačinu sa 2 kako bismo se oslobodili razlomka:

2t2−3t−20=02t^2 - 3t - 20 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po t: t :

t1,2=3±(−3)2−4⋅2⋅(−20)2⋅2=3±9+1604=3±134t_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-20)}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 160}}{4} = \frac{3 \pm 13}{4}

Dobijamo dva rešenja za t: t :

t1=4,t2=−52t_1 = 4, \quad t_2 = -\frac{5}{2}

Pošto mora važiti t>0, t > 0 , odbacujemo negativno rešenje. Vraćamo smenu t=2y: t = 2^y :

2y=42^y = 4

Rešavamo eksponencijalnu jednačinu po y: y :

2y=22  ⟹  y=22^y = 2^2 \implies y = 2

Vraćamo prvu smenu y=x+x2−2: y = x + \sqrt{x^2-2} :

x+x2−2=2x + \sqrt{x^2-2} = 2

Izolujemo koren na jednoj strani jednačine:

x2−2=2−x\sqrt{x^2-2} = 2 - x

Da bi jednačina imala rešenja, desna strana mora biti nenegativna:

2−x≥0  ⟹  x≤22 - x \ge 0 \implies x \le 2

Kvadriramo obe strane jednačine:

x2−2=(2−x)2x^2 - 2 = (2 - x)^2

Razvijamo kvadrat binoma na desnoj strani:

x2−2=4−4x+x2x^2 - 2 = 4 - 4x + x^2

Skraćujemo x2 x^2 sa obe strane i rešavamo linearnu jednačinu po x: x :

4x=6  ⟹  x=324x = 6 \implies x = \frac{3}{2}

Proveravamo da li dobijeno rešenje zadovoljava uslove domena x∈(−∞,−2]∪[2,+∞) x \in (-\infty, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, +\infty) i uslov kvadriranja x≤2. x \le 2 . Pošto je 32=1.5, \frac{3}{2} = 1.5 , a 2≈1.41, \sqrt{2} \approx 1.41 , oba uslova su zadovoljena. Konačno rešenje je:

x=32x = \frac{3}{2}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti