549.

Eksponencijalna nejednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

(1,25)1−x<(0,64)2(1+x)(1,25)^{1-x}\lt(0,64)^{2(1+\sqrt{x})}
REŠENJE ZADATKA

Postaviti uslove nejednačine:

x≥0  ⟹  x≥0\sqrt{x}\ge0 \implies x\ge0

Decimalne brojeve pretvoriti u razlomke:

(54)1−x<(1625)2(1+x)\bigg(\frac 5 4\bigg)^{1-x}\lt \bigg(\frac {16} {25}\bigg)^{2(1+\sqrt{x})}

Sve članove svesti na istu osnovu:

(54)1−x<(54)−4(1+x)\bigg(\frac 5 4\bigg)^{1-x}\lt \bigg(\frac 54\bigg)^{-4(1+\sqrt{x})}
DODATNO OBJAŠNJENJE

Kako su osnove iste i veće od 1, moguće je porediti eksponente:

1−x<−4(1+x)1-x\lt -4(1+\sqrt{x})

Osloboditi se zagrade:

1−x<−4−4x1-x\lt -4-4\sqrt{x}

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka nejednakosti.

1−x+4+4x<01-x+4+4\sqrt{x}\lt0

Srediti izraz:

−x+4x+5<0-x+4\sqrt{x}+5\lt 0

Pomnožiti izraz sa -1. Prilikom množenja nejednakosti negativnim brojem, promeniti znak nejednakosti u suprotan.

x−4x−5>0x-4\sqrt{x}-5\gt 0

Uvesti smenu x=t.\sqrt{x}=t.

t2−4t−5>0t^2-4t-5\gt 0

Pronaći nule funkcije:

t2−4t−5=0t^2-4t-5 = 0

Rešiti kvadratnu jednačinu po formuli: x1,2=−b±b2−4ac2a,x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, gde su a=1,a=1, b=−4b=-4 i c=−5.c=-5.

t1,2=4±(−4)2−4⋅1⋅(−5)2⋅1  ⟹  t1=5,t2=−1t_{1,2}=\frac {4\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot1\cdot(-5)}} {2\cdot1} \implies t_1=5, \quad t_2=-1

Rastaviti nejednačinu po formuli: a(x−x1)(x−x2), a(x-x_1)(x-x_2) , gde su x1x_1 i x2x_2 rešenja kvadratne jednačine t1t_1 i t2.t_2.

(t−5)(t+1)>0(t-5)(t+1)\gt 0
t∈(−∞,−1)t \in (-\infin, -1)
t∈(−1,5)t\in (-1, 5)
t∈(5,∞)t\in (5, \infin)
t+1t+1
−-
++
++
t−5t-5
−-
−-
++
(t+1)(t−5)(t+1)(t-5)
++
−-
++

Rešenja nejednačine pročitati iz tabele:

t∈(−∞,−1)∨t∈(5,∞)t \in (-\infin, -1) \quad \lor \quad t \in (5, \infin)

Vratiti x\sqrt{x} umesto smene t:t:

x∈(−∞,−1)∨x∈(5,∞)\sqrt{x} \in (-\infin, -1) \quad \lor \quad \sqrt{x} \in (5, \infin)

Na početku zadatka postavljen je uslov x>0,\sqrt{x}>0, zbog čega prvi interval (−∞,−1)(-\infin, -1) nije moguće rešenje. Rešenje nejednačine je:

x∈(5,∞)\sqrt{x} \in (5, \infin)
x∈(25,∞)x \in (25, \infin)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti