535.

Eksponencijalna jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

9x+6x=2⋅4x9^x+6^x=2\cdot 4^x
REŠENJE ZADATKA

Podeliti obe strane jednačine sa 4x:4^x:

9x4x+6x4x=2⋅1\frac {9^x} {4^x}+\frac {6^x}{4^x}=2\cdot 1

Primeniti osnovnu osobinu operacija sa stepenima: (ab)m=ambm \big({\frac a b}\big)^m= \frac {a^m} {b^m}

(94)x+(64)x=2\bigg(\frac 9 4 \bigg)^x+\bigg(\frac 6 4 \bigg)^x=2

Sve članove svesti na istu osnovu:

(32)2x+(32)x=2\bigg(\frac 3 2 \bigg)^{2x}+\bigg(\frac 32 \bigg)^x=2
DODATNO OBJAŠNJENJE

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka jednakosti.

(32)2x+(32)x−2=0\bigg(\frac 3 2 \bigg)^{2x}+\bigg(\frac 32 \bigg)^x-2=0

Uvesti smenu:

(32)x=t\bigg(\frac 32 \bigg)^x=t

Uvrstiti smenu u izraz:

t2+t−2=0t^2+t-2=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: x1,2=−b±b2−4ac2a,x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a}, gde su: a=1,a=1, b=1b=1 i c=−2c=-2

t1,2=−1±12−4⋅1⋅(−2)2⋅1  ⟹  t1=−2,t2=1t_{1,2}=\frac {-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot1\cdot(-2)}} {2\cdot1} \implies t_1=-2, \quad t_2=1

Vratiti smenu i uvrstiti dobijena rešenja:

(32)x=−2∨(32)x=1\bigg(\frac 32 \bigg)^x=-2 \quad\lor\quad \bigg(\frac 32 \bigg)^x=1

Prva jednačina nema rešenja u skupu realnih brojeva.

(32)x=−2  ⟹  x∉R\bigg(\frac 32 \bigg)^x=-2\implies x\notin \mathbb{R}

Rešavanjem druge jednačine dobija se:

x=0x=0

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti