TEKST ZADATKA
Koeficijent trećeg člana u razvoju (x−31)n je 45. Naći srednji član.
REŠENJE ZADATKA
Treći član odgovara indeksu k=2 jer indeksiranje počinje od 0. Postaviti uslov iz zadatka da je koeficijent trećeg člana 45:
(2n)=45 Rešavanjem jednačine dobija se:
n1=10∨n2=−9 (2n)=(n−2)! 2!n!=(n−2)! 2⋅1n(n−1)(n−2)!=2n(n−1)=45 n(n−1)=90 n2−n−90=0 n1,2=21±1+360 n1,2=21±19 n1=10∨n2=−9 Pošto n∈N, prihvatljivo rešenje je:
Srednji član odgovara:
k=2n⟹k=5 Odrediti šesti član binomnog razvoja po formuli: Tk+1=(kn)a(n−k)bk, gde je: n=10, k=5
T6=(510)x10−5(−1)5(31)5=−243252x5=−2728x5 (510)(−1)5=−(10−5)! 5!10!=−5! 5!10!=−5⋅4⋅3⋅2⋅1⋅5!10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5!=−5⋅4⋅3⋅2⋅110⋅9⋅8⋅7⋅6=−252 x10−5(31)5=x5⋅2431=243x5