Podeli

487.
Zadatak

TEKST ZADATKA

Naći $n$ u razvoju binoma $(a+b)^n, \ n\in N,$ ako je koeficijent trećeg člana jednak $21.$

REŠENJE ZADATKA

Treći član odgovara indeksu $k=2$ jer indeksiranje počinje od 0. Dakle, koeficijent trećeg člana glasi:

\binom{n}{2}

Koeficijent uz treći član je dat kao 21, pa se može postaviti jednačina:

\binom{n}{2} = 21

Primeniti formulu za binomni koeficijent: $\binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)! \space k!}.$

\frac{n!}{(n-2)! \space 2!}=21

Sređivanjem izraza dobija se kvadratna jednačina:

n^2-n-42=0

DODATNO OBJAŠNJENJE

\frac{n(n-1)(n-2)!}{(n-2)!\space 2\cdot1} = 21

\frac{n(n-1)}{2}=21

n(n-1)=42

n^2-n-42=0

Dva rešenja su:

n_1=7 \quad \lor \quad n_2=-6

DODATNO OBJAŠNJENJE

Rešiti kvadratnu jednačinu po formuli: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},$ gde su $a=1,$ $b=-1,$ $c=-42.$

n_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1+168}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{1 \pm 13}{2}

Pošto $n \in \mathbb{N},$ prihvatljivo rešenje je:

n=7

487.Zadatak