Podeli

488.
Zadatak

TEKST ZADATKA

Koji član u razvoju binoma $\bigg(\sqrt[3]{\frac a {\sqrt{b}}} +\sqrt{\frac b {\sqrt[3]{a}}}\bigg)^{21}, a>0, \ b>0 ,$ sadrži $a$ i $b$ sa istim stepenom?

REŠENJE ZADATKA

Odrediti opšti član binomnog razvoja po formuli: $T_{k+1}=\binom{n}{k} a^{(n-k)} b^k,$ gde je: $n=21$

T_{k+1}=\binom{21}{k} \bigg(\big(\frac a {\sqrt{b}}\big)^{\frac 1 3}\bigg)^{n-k}\bigg(\big(\frac b {\sqrt[3]{a}}\big)^{\frac 12}\bigg)^k=\binom{21}{k} a^{\frac 1 3 (n-k)-\frac 1 6k} \cdot b^{-\frac 16(n-k)+\frac 12k}

DODATNO OBJAŠNJENJE

\binom{21}{k} \bigg(\big( a \cdot b^{-\frac 12}\big)^{\frac 1 3}\bigg)^{n-k}\bigg(\big( b \cdot a^{-\frac 1 3}\big)^{\frac 12}\bigg)^k=\binom{21}{k} (a^{\frac 1 3} \cdot b^{-\frac 12\cdot\frac 1 3})^{n-k}( b^{\frac 12} \cdot a^{-\frac 1 3\cdot\frac 12})^k=\binom{21}{k} (a^{\frac 1 3} \cdot b^{-\frac 16})^{n-k}( b^{\frac 12} \cdot a^{-\frac 1 6})^k=\binom{21}{k} a^{\frac 1 3 (n-k)} \cdot b^{-\frac 16(n-k)}\cdot b^{\frac 12k} \cdot a^{-\frac 1 6k}

Pošto je zadato da $a$ i $b$ imaju iste stepene, sledi da važi jednakost:

\frac 1 3 (n-k)-\frac 1 6k= -\frac 16(n-k)+\frac 12k

Rešavanjem jednačine dobija se:

k= 9

DODATNO OBJAŠNJENJE

Pomnožiti obe strane jednačine sa $6.$

\frac 1 3 (n-k)-\frac 1 6k= -\frac 16(n-k)+\frac 12k \quad \bigg| \times 6

2n-3k=4k-n

7k=3n

k = \frac{3}{7}\space n

Uvrstiti $n=21.$

k = \frac{3}{7} \cdot 21 = 9

Traženi član binomnog razvoja odgovara $k=9,$ a pošto indeksiranje počinje od 0, to je deseti član.

488.Zadatak

488.
Zadatak