393.

Aritmetički niz

TEKST ZADATKA

Ako za aritmetički niz i neke prirodne brojeve mminn(m≠n)(m\not = n)važi Sm=Sn,S_m=S_n,dokazati da jeSm+n=0.S_{m+n}=0.

REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za zbir airtmetičkog niza:

Sm=m2(a1+am)S_m=\frac{m}{2}(a_1+a_m)

Primeniti formulu za opšti član aritmetičkog niza:

Sm=m2(2a1+(m−1)d)S_m=\frac{m}{2}(2a_1+(m-1)d)

Na isti način dobija se:

Sn=n2(2a1+(n−1)d)S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)
Sm+n=m+n2(2a1+(m+n−1)d)S_{m+n}=\frac{m+n}{2}(2a_1+(m+n-1)d)

Iskoristiti jednakost Sm=SnS_m=S_niz uslova zadatka:

m2(2a1+(m−1)d)=n2(2a1+(n−1)d)\frac{m}{2}(2a_1+(m-1)d)=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)

Srediti izraz:

m2(2a1+(m−1)d)−n2(2a1+(n−1)d)=0\frac{m}{2}(2a_1+(m-1)d)-\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)=0
2am+m(m−1)d−2an−n(n−1)d2=0\frac{2am+m(m-1)d-2an-n(n-1)d}{2}=0
2a(m−n)+d(m(m−1)−n(n−1))=02a(m-n)+d(m(m-1)-n(n-1))=0
2a(m−n)+d(m2−m−n2+n)=02a(m-n)+d(m^2-m-n^2+n)=0
2a(m−n)+d((m−n)(m+n)−(m−n)=02a(m-n)+d((m-n)(m+n)-(m-n)=0
2a(m−n)+d(m−n)(m+n−1)=02a(m-n)+d(m-n)(m+n-1)=0
(m−n)(2a+d(m+n−1)=0(m-n)(2a+d(m+n-1)=0

Zbog pretpostavke m≠nm\not = nvaži da je 2a+d(m+n−1)=02a+d(m+n-1)=0

Ako je 2a+d(m+n−1)=02a+d(m+n-1)=0 onda važi i da je izraz Sm+n=m+n2(2a1+(m+n−1)d)S_{m+n}=\frac{m+n}{2}(2a_1+(m+n-1)d)jednak nuli.

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti