391.

Aritmetički niz

TEKST ZADATKA

Neka sua,b,ca, b, crealni brojevi takvi da je (b+c)(c+a)(a+b)≠0.(b+c)(c+a)(a+b)\not = 0. Dokazati da su brojevi 1b+c,1c+a,1a+b\frac{1}{b+c}, \frac{1}{c+a}, \frac{1}{a+b}uzastopni članovi aritmetičkog niza ako i samo ako su brojevi a2,b2,c2a^2, b^2, c^2uzastopni članovi aritmetičkog niza.

REŠENJE ZADATKA

Da bi brojevi 1b+c,1c+a,1a+b\frac{1}{b+c}, \frac{1}{c+a}, \frac{1}{a+b}bili uzastopni članovi niza mora da važi jednakost:

1c+a=12(1b+c+1a+b)\frac{1}{c+a}=\frac{1}{2}(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+b})

Srediti izraz:

1a+c=12a+b+b+c(b+c)(a+b)\frac{1}{a+c}=\frac{1}{2}\frac{a+b+b+c}{(b+c)(a+b)}
1a+c=a+2b+c2(b+c)(a+b)⇒2(b+c)(a+b)=(a+c)(a+2b+c)\frac{1}{a+c}=\frac{a+2b+c}{2(b+c)(a+b)}\rArr 2(b+c)(a+b)=(a+c)(a+2b+c)
2(ab+b2+ca+cb)=a2+2ab+ac+ac+2bc+c22(ab+b^2+ca+cb)=a^2+2ab+ac+ac+2bc+c^2
2ab+2b2+2ac+2bc=a2+2ab+2ac+c2\cancel{2ab}+2b^2+\cancel{2ac}+\cancel{2bc}=a^2+\cancel{2ab}+\cancel{2ac}+c^2
2b2=a2+c2⇒b2=a2+c222b^2=a^2+c^2 \rArr b^2=\frac{a^2+c^2}{2}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti