765.

Algebarski oblik

TEKST ZADATKA

Naći kompleksni broj zz koji zadovoljava uslov:

Im(1+z4+4i+iz)=−Re(1+z4+4i+iz)=3 \text{Im}\bigg(\frac{1+z}{4+4i}+iz\bigg)=-\text{Re}\bigg(\frac{1+z}{4+4i}+iz\bigg)=3
REŠENJE ZADATKA

Pošto su realni i imaginarni deo kompleksnog broja 1+z4+4i+iz\frac{1+z}{4+4i}+iz dati i jednaki −3, -3 , odnosno 3,3, može se odrediti taj kompleksni broj.

1+z4+4i+iz=−3+3i\frac{1+z}{4+4i}+iz=-3+3i

Izraziti z.z.

1+z+iz(4+4i)=(−3+3i)(4+4i)1+z+4iz+4i2z=−12−12i+12i+12i21+z+4iz−4z=−12−121−3z+4iz=−24z(−3+4i)=−25z=253−4i1+z+iz(4+4i)=(-3+3i)(4+4i) \\ 1+z+4iz+4i^2z=-12-12i+12i+12i^2\\ 1+z+4iz-4z=-12-12\\ 1-3z+4iz=-24 \\ z(-3+4i)=-25 \\ z=\frac{25}{3-4i}

Da bi se uklonio imaginarni broj iz imenioca, pomnožiti brojilac i imenilac konjugovanim brojem od 3−4i,3-4i, što je 3+4i.3+4i.

253−4i⋅3+4i3+4i75+100i9−16i2\frac{25}{3-4i}\cdot\frac{3+4i}{3+4i} \\ \frac{75+100i}{9-16i^2}

Pošto je i2=−1i^2=-1 dobija se:

75+100i9+1675+100i253+4i\frac{75+100i}{9+16} \\ \frac{75+100i}{25} \\ 3+4i

Konačno rešenje je:

z=3+4iz=3+4i

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti