6228. Uvod u kombinatoriku

Neka je broj $\overline{abcd} ,$ gde je $a\ne0$ cifra hiljada, a $c=5$ cifra desetica. Iz uslova za zbir cifara:

a+b+5+d=10\quad\Longrightarrow\quad a+b+d=5,\qquad a\ge1

Pravilo zbira: ako skupovi $A_1,A_2,\ldots,A_n$ nemaju zajedničkih elemenata ( $A_i\cap A_j=\varnothing$ za $i\ne j$ ), onda je $|A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n|=|A_1|+|A_2|+\cdots+|A_n| .$ Praktično: ako se sve mogućnosti dele na slučajeve koji se ne preklapaju, prebrojimo svaki slučaj posebno i saberemo. Sve brojeve delimo na slučajeve prema prvoj cifri $a$ ; slučajevi se ne preklapaju jer brojevi sa različitom prvom cifrom ne mogu biti jednaki. Pošto je $b+d=5-a\ge0 ,$ moguće je $a\in\{1,2,3,4,5\} .$

Ako je $b+d=k ,$ cifru $b$ možemo izabrati kao bilo koji od brojeva $0,1,\ldots,k ,$ a tada je $d=k-b$ jednoznačno određeno. Zato jednačina $b+d=k$ ima $k+1$ rešenja u ciframa (za $k\le9$ ). Po slučajevima:

\begin{aligned}a=1&:\ b+d=4,\ 5\text{ rešenja: }1054,\ 1153,\ 1252,\ 1351,\ 1450\\a=2&:\ b+d=3,\ 4\text{ rešenja: }2053,\ 2152,\ 2251,\ 2350\\a=3&:\ b+d=2,\ 3\text{ rešenja: }3052,\ 3151,\ 3250\\a=4&:\ b+d=1,\ 2\text{ rešenja: }4051,\ 4150\\a=5&:\ b+d=0,\ 1\text{ rešenje: }5050\end{aligned}

Po pravilu zbira saberemo broj rešenja u svim slučajevima:

5+4+3+2+1=15

Dakle, ima $15$ takvih četvorocifrenih brojeva.

Započni učenje

Privatni časovi

409

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci