353.

5. Trigonometrijske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

cos⁡3x+cos⁡5x=0\cos{3x}+\cos{5x}=0
REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za transformaciju zbira u proizvod: cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2cos⁡α−β2 \cos{\alpha}+\cos{\beta}=2\cos{\frac {\alpha+\beta} 2}\cos{\frac {\alpha-\beta} 2}

2cos⁡3x+5x2cos⁡3x−5x2=02\cos{\frac {3x+5x} 2}\cos{\frac {3x-5x} 2} =0

Sređivanjem izraza dobija se:

2cos⁡4xcos⁡x=02\cos{4x}\cos{x} =0

Proizvod će biti jednak nuli kada je bar jedan od činilaca jednak nuli:

cos⁡4x=0∨cos⁡x=0\cos{4x}=0 \lor \cos{x}=0

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

x=π8+kπ,k∈Zx=\frac {\pi} 8 +k\pi, k \in Z
DODATNO OBJAŠNJENJE

Rešavanjem druge jednačine dobija se:

x=π2+kπx=\frac {\pi} 2+k\pi