3902.

594.đ

TEKST ZADATKA

Koristeći razne metode rastaviti na činioce sledeće polinome.

x12−a12x^{12} - a^{12}
REŠENJE ZADATKA

Prvo uočavamo da je izraz razlika kvadrata, jer je x12=(x6)2 x^{12} = (x^6)^2 i a12=(a6)2. a^{12} = (a^6)^2 . Koristimo formulu A2−B2=(A−B)(A+B). A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) .

x12−a12=(x6−a6)(x6+a6)x^{12} - a^{12} = (x^6 - a^6)(x^6 + a^6)

Sada prvi činilac x6−a6 x^6 - a^6 ponovo rastavljamo kao razliku kvadrata (x3)2−(a3)2. (x^3)^2 - (a^3)^2 .

x6−a6=(x3−a3)(x3+a3)x^6 - a^6 = (x^3 - a^3)(x^3 + a^3)

Drugi činilac iz prvog koraka, x6+a6, x^6 + a^6 , rastavljamo kao zbir kubova (x2)3+(a2)3 (x^2)^3 + (a^2)^3 koristeći formulu A3+B3=(A+B)(A2−AB+B2). A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2) .

x6+a6=(x2+a2)(x4−x2a2+a4)x^6 + a^6 = (x^2 + a^2)(x^4 - x^2a^2 + a^4)

Sada rastavljamo x3−a3 x^3 - a^3 (razlika kubova) i x3+a3 x^3 + a^3 (zbir kubova).

x3−a3=(x−a)(x2+xa+a2)x3+a3=(x+a)(x2−xa+a2)\begin{aligned} x^3 - a^3 &= (x - a)(x^2 + xa + a^2) \\ x^3 + a^3 &= (x + a)(x^2 - xa + a^2) \end{aligned}

Spajamo sve dobijene činioce u konačan izraz.

x12−a12=(x−a)(x2+xa+a2)(x+a)(x2−xa+a2)(x2+a2)(x4−x2a2+a4)x^{12} - a^{12} = (x - a)(x^2 + xa + a^2)(x + a)(x^2 - xa + a^2)(x^2 + a^2)(x^4 - x^2a^2 + a^4)

Radi preglednosti, možemo grupisati linearne i kvadratne činioce.

x12−a12=(x−a)(x+a)(x2+a2)(x2+xa+a2)(x2−xa+a2)(x4−x2a2+a4)x^{12} - a^{12} = (x - a)(x + a)(x^2 + a^2)(x^2 + xa + a^2)(x^2 - xa + a^2)(x^4 - x^2a^2 + a^4)