3874. Transformacije celih algebarskih racionalnih izraza

TEKST ZADATKA

Rastaviti na činioce polinom $x^2 - 7x - 8 .$

REŠENJE ZADATKA

Prvi metod koji možemo koristiti je rastavljanje srednjeg člana. Cilj je da broj $-7$ napišemo kao zbir dva broja čiji je proizvod jednak slobodnom članu $-8 .$

-7 = 1 - 8 \quad \text{i} \quad 1 \cdot (-8) = -8

Sada zamenjujemo srednji član $-7x$ sa $x - 8x$ u polaznom izrazu:

x^2 + x - 8x - 8

Grupišemo članove i iz svakog para izvlačimo zajednički činilac:

(x^2 + x) - (8x + 8) = x(x + 1) - 8(x + 1)

Primećujemo da je $(x + 1)$ zajednički činilac za oba sabirka, pa ga izvlačimo ispred zagrade:

(x + 1)(x - 8)

Alternativni metod je korišćenje formula za nule kvadratne funkcije $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) .$ Rešavamo kvadratnu jednačinu:

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1}

Računamo vrednost diskriminante i rešenja:

x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{7 \pm 9}{2}

Dobijamo nule polinoma:

x_1 = \frac{16}{2} = 8, \quad x_2 = \frac{-2}{2} = -1

Na osnovu nula, faktorisan oblik polinoma je:

1 \cdot (x - 8)(x - (-1)) = (x - 8)(x + 1)

592.b