3826.

587.n

TEKST ZADATKA

Koristeći formule za zbir i razliku kubova rastaviti na činioce sledeći polinom: (a+b)3−27(a−b)3 (a + b)^3 - 27(a - b)^3

REŠENJE ZADATKA

Prvo uočavamo da se izraz može zapisati kao razlika dva kuba. Broj 27 27 zapisujemo kao 33, 3^3 , pa ceo drugi član postaje kub proizvoda.

(a+b)3−[3(a−b)]3(a + b)^3 - [3(a - b)]^3

Koristimo formulu za razliku kubova: x3−y3=(x−y)(x2+xy+y2). x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) . U našem slučaju je x=a+b x = a + b i y=3(a−b). y = 3(a - b) .

[(a+b)−3(a−b)]⋅[(a+b)2+(a+b)⋅3(a−b)+(3(a−b))2][(a + b) - 3(a - b)] \cdot [(a + b)^2 + (a + b) \cdot 3(a - b) + (3(a - b))^2]

Sređujemo prvu zagradu oslobađanjem od unutrašnjih zagrada i grupisanjem članova.

(a+b−3a+3b)=(4b−2a)=2(2b−a)(a + b - 3a + 3b) = (4b - 2a) = 2(2b - a)

Sređujemo drugu zagradu koristeći formule za kvadrat binoma i razliku kvadrata.

(a2+2ab+b2)+3(a2−b2)+9(a2−2ab+b2)(a^2 + 2ab + b^2) + 3(a^2 - b^2) + 9(a^2 - 2ab + b^2)

Razvijamo sve članove unutar druge zagrade.

a2+2ab+b2+3a2−3b2+9a2−18ab+9b2a^2 + 2ab + b^2 + 3a^2 - 3b^2 + 9a^2 - 18ab + 9b^2

Sabiramo slične članove u drugoj zagradi.

(1+3+9)a2+(2−18)ab+(1−3+9)b2=13a2−16ab+7b2(1 + 3 + 9)a^2 + (2 - 18)ab + (1 - 3 + 9)b^2 = 13a^2 - 16ab + 7b^2

Spajamo oba dela u konačan proizvod činilaca.

2(2b−a)(13a2−16ab+7b2)2(2b - a)(13a^2 - 16ab + 7b^2)