3799. Transformacije celih algebarskih racionalnih izraza

TEKST ZADATKA

Potrebno je odrediti kvadrat i kub datog trinoma: $x - y + z .$

REŠENJE ZADATKA

Prvo računamo kvadrat izraza koristeći formulu za kvadrat trinoma: $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc .$

(x - y + z)^2

Primenjujemo formulu na naš izraz, vodeći računa o znaku ispred promenljive $y :$

(x - y + z)^2 = x^2 + (-y)^2 + z^2 + 2 \cdot x \cdot (-y) + 2 \cdot x \cdot z + 2 \cdot (-y) \cdot z

Sređivanjem dobijenog izraza dobijamo konačan rezultat za kvadrat:

(x - y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 - 2xy + 2xz - 2yz

Zatim računamo kub izraza. Izraz posmatramo kao binom grupisanjem članova: $((x - y) + z)^3 .$

(x - y + z)^3 = ((x - y) + z)^3

Koristimo formulu za kub zbira: $(A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3 ,$ gde je $A = x - y$ i $B = z :$

(x - y + z)^3 = (x - y)^3 + 3(x - y)^2 z + 3(x - y) z^2 + z^3

Sada razvijamo svaki deo posebno: $(x - y)^3$ i $(x - y)^2 :$

\begin{aligned} (x - y)^3 &= x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 \\ (x - y)^2 &= x^2 - 2xy + y^2 \end{aligned}

Zamenjujemo ove razvoje u glavni izraz i množimo preostale članove:

(x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3) + 3(x^2 - 2xy + y^2)z + 3(xz^2 - yz^2) + z^3

Sređivanjem i grupisanjem dobijamo konačan rezultat za kub:

x^3 - y^3 + z^3 - 3x^2y + 3x^2z + 3xy^2 + 3y^2z + 3xz^2 - 3yz^2 - 6xyz

585.e