3799.

585.e

TEKST ZADATKA

Potrebno je odrediti kvadrat i kub datog trinoma: x−y+z. x - y + z .

REŠENJE ZADATKA

Prvo računamo kvadrat izraza koristeći formulu za kvadrat trinoma: (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc. (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc .

(x−y+z)2(x - y + z)^2

Primenjujemo formulu na naš izraz, vodeći računa o znaku ispred promenljive y: y :

(x−y+z)2=x2+(−y)2+z2+2⋅x⋅(−y)+2⋅x⋅z+2⋅(−y)⋅z(x - y + z)^2 = x^2 + (-y)^2 + z^2 + 2 \cdot x \cdot (-y) + 2 \cdot x \cdot z + 2 \cdot (-y) \cdot z

Sređivanjem dobijenog izraza dobijamo konačan rezultat za kvadrat:

(x−y+z)2=x2+y2+z2−2xy+2xz−2yz(x - y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 - 2xy + 2xz - 2yz

Zatim računamo kub izraza. Izraz posmatramo kao binom grupisanjem članova: ((x−y)+z)3. ((x - y) + z)^3 .

(x−y+z)3=((x−y)+z)3(x - y + z)^3 = ((x - y) + z)^3

Koristimo formulu za kub zbira: (A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3, (A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3 , gde je A=x−y A = x - y i B=z: B = z :

(x−y+z)3=(x−y)3+3(x−y)2z+3(x−y)z2+z3(x - y + z)^3 = (x - y)^3 + 3(x - y)^2 z + 3(x - y) z^2 + z^3

Sada razvijamo svaki deo posebno: (x−y)3 (x - y)^3 i (x−y)2: (x - y)^2 :

(x−y)3=x3−3x2y+3xy2−y3(x−y)2=x2−2xy+y2\begin{aligned} (x - y)^3 &= x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 \\ (x - y)^2 &= x^2 - 2xy + y^2 \end{aligned}

Zamenjujemo ove razvoje u glavni izraz i množimo preostale članove:

(x3−3x2y+3xy2−y3)+3(x2−2xy+y2)z+3(xz2−yz2)+z3(x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3) + 3(x^2 - 2xy + y^2)z + 3(xz^2 - yz^2) + z^3

Sređivanjem i grupisanjem dobijamo konačan rezultat za kub:

x3−y3+z3−3x2y+3x2z+3xy2+3y2z+3xz2−3yz2−6xyzx^3 - y^3 + z^3 - 3x^2y + 3x^2z + 3xy^2 + 3y^2z + 3xz^2 - 3yz^2 - 6xyz