796

Polazimo od date jednakosti.

Transformišimo izraz $\sin(\alpha - \beta)\sin(\alpha + \beta)$ koristeći formulu za proizvod sinusa: $\sin x \sin y = \frac{1}{2}(\cos(x - y) - \cos(x + y)) .$

Kako je kosinus parna funkcija ($\cos(-x) = \cos x$) i važi formula za kosinus dvostrukog ugla $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x ,$ dobijamo:

Zamenom ovog identiteta u početnu jednačinu dobijamo:

Prebacujemo sve članove na levu stranu i izvlačimo zajednički faktor $\sin(\alpha - \beta) :$

Proizvod je jednak nuli ako je bar jedan od činilaca jednak nuli. Dobijamo dva slučaja:

Analiziramo prvi slučaj. Kako su $\alpha$ i $\beta$ uglovi trougla, važi $\alpha, \beta \in (0, \pi) ,$ pa je $\alpha - \beta \in (-\pi, \pi) .$ Jedino rešenje u ovom intervalu je:

Ovo znači da su dva ugla jednaka, odnosno da je trougao jednakokrak. Sada analiziramo drugi slučaj. Iz jednačine sledi $\sin(\alpha + \beta) = 1 .$ Kako je zbir uglova u trouglu $\alpha + \beta + \gamma = \pi ,$ važi $\alpha + \beta \in (0, \pi) .$ Jedino rešenje je:

Iz ovoga sledi da je treći ugao trougla:

Time smo dokazali da trougao mora biti ili jednakokrak ili pravougli.