2706.

Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

TEKST ZADATKA

Ako uglovi trougla zadovoljavaju jednakost sin⁡(α−β)=sin⁡2α−sin⁡2β, \sin(\alpha - \beta) = \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta , dokazati da je trougao pravougli ili jednakokrak.

REŠENJE ZADATKA

Polazimo od date jednakosti.

sin⁡(α−β)=sin⁡2α−sin⁡2β\sin(\alpha - \beta) = \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta

Transformišimo izraz sin⁡(α−β)sin⁡(α+β) \sin(\alpha - \beta)\sin(\alpha + \beta) koristeći formulu za proizvod sinusa: sin⁡xsin⁡y=12(cos⁡(x−y)−cos⁡(x+y)). \sin x \sin y = \frac{1}{2}(\cos(x - y) - \cos(x + y)) .

sin⁡(α−β)sin⁡(α+β)=12(cos⁡(−2β)−cos⁡(2α))\sin(\alpha - \beta)\sin(\alpha + \beta) = \frac{1}{2}(\cos(-2\beta) - \cos(2\alpha))

Kako je kosinus parna funkcija (cos⁡(−x)=cos⁡x \cos(-x) = \cos x ) i važi formula za kosinus dvostrukog ugla cos⁡2x=1−2sin⁡2x, \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x , dobijamo:

12(cos⁡2β−cos⁡2α)=12(1−2sin⁡2β−(1−2sin⁡2α))=sin⁡2α−sin⁡2β\frac{1}{2}(\cos 2\beta - \cos 2\alpha) = \frac{1}{2}(1 - 2\sin^2 \beta - (1 - 2\sin^2 \alpha)) = \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta

Zamenom ovog identiteta u početnu jednačinu dobijamo:

sin⁡(α−β)=sin⁡(α−β)sin⁡(α+β)\sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha - \beta)\sin(\alpha + \beta)

Prebacujemo sve članove na levu stranu i izvlačimo zajednički faktor sin⁡(α−β): \sin(\alpha - \beta) :

sin⁡(α−β)(1−sin⁡(α+β))=0\sin(\alpha - \beta)(1 - \sin(\alpha + \beta)) = 0

Proizvod je jednak nuli ako je bar jedan od činilaca jednak nuli. Dobijamo dva slučaja:

sin⁡(α−β)=0ili1−sin⁡(α+β)=0\sin(\alpha - \beta) = 0 \quad \text{ili} \quad 1 - \sin(\alpha + \beta) = 0

Analiziramo prvi slučaj. Kako su α \alpha i β \beta uglovi trougla, važi α,β∈(0,π), \alpha, \beta \in (0, \pi) , pa je α−β∈(−π,π). \alpha - \beta \in (-\pi, \pi) . Jedino rešenje u ovom intervalu je:

α−β=0  ⟹  α=β\alpha - \beta = 0 \implies \alpha = \beta

Ovo znači da su dva ugla jednaka, odnosno da je trougao jednakokrak. Sada analiziramo drugi slučaj. Iz jednačine sledi sin⁡(α+β)=1. \sin(\alpha + \beta) = 1 . Kako je zbir uglova u trouglu α+β+γ=π, \alpha + \beta + \gamma = \pi , važi α+β∈(0,π). \alpha + \beta \in (0, \pi) . Jedino rešenje je:

α+β=π2\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}

Iz ovoga sledi da je treći ugao trougla:

γ=π−(α+β)=π−π2=π2\gamma = \pi - (\alpha + \beta) = \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}

Time smo dokazali da trougao mora biti ili jednakokrak ili pravougli.

Trougao je jednakokrak ili pravougli.\text{Trougao je jednakokrak ili pravougli.}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti