795

Zbir uglova u trouglu je $\pi ,$ pa važi $\alpha + \beta + \gamma = \pi .$ Izrazimo ugao $\frac{\gamma}{2}$ preko ostalih uglova.

Primenimo dobijeni izraz na $\cos \frac{\gamma}{2}$ koristeći trigonometrijski identitet $\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x .$

Zamenimo dobijeni izraz u početnu jednačinu.

Primenimo formulu za sinus dvostrukog ugla na levu stranu jednačine, $\sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} .$

Kako je $\alpha$ ugao trougla, važi $0 < \alpha < \pi ,$ pa je $\sin \frac{\alpha}{2} \neq 0 .$ Možemo podeliti jednačinu sa $2 \sin \frac{\alpha}{2} .$

Primenimo formulu za proizvod sinusa $\sin x \sin y = \frac{1}{2}(\cos(x - y) - \cos(x + y))$ na desnu stranu jednačine.

Izjednačimo levu i novu desnu stranu jednačine.

Sređivanjem jednačine dobijamo:

Pošto su $\alpha$ i $\beta$ uglovi trougla, važi $\alpha + \beta < \pi ,$ pa je $0 < \frac{\alpha}{2} + \beta < \pi .$ Jedini ugao u ovom intervalu čiji je kosinus jednak nuli je $\frac{\pi}{2} .$

Kako je zbir uglova u trouglu $\alpha + \beta + \gamma = \pi ,$ možemo izjednačiti ova dva izraza.

Pošto su dva ugla trougla jednaka, zaključujemo da je trougao jednakokrak.