Proizvod kosinusa x/2, x/3 i x/4 kao zbir

Primenjujemo formulu za proizvod kosinusa na prva dva faktora: $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)) .$ U ovom slučaju je $\alpha = \frac{x}{2}$ i $\beta = \frac{x}{3} .$

\cos \frac{x}{2} \cos \frac{x}{3} = \frac{1}{2} \left( \cos \left( \frac{x}{2} + \frac{x}{3} \right) + \cos \left( \frac{x}{2} - \frac{x}{3} \right) \right)

Sređujemo argumente unutar zagrada.

\frac{1}{2} \left( \cos \frac{3x + 2x}{6} + \cos \frac{3x - 2x}{6} \right) = \frac{1}{2} \left( \cos \frac{5x}{6} + \cos \frac{x}{6} \right)

Sada dobijeni izraz množimo sa preostalim faktorom $\cos \frac{x}{4} .$

\frac{1}{2} \left( \cos \frac{5x}{6} + \cos \frac{x}{6} \right) \cos \frac{x}{4} = \frac{1}{2} \left( \cos \frac{5x}{6} \cos \frac{x}{4} + \cos \frac{x}{6} \cos \frac{x}{4} \right)

Ponovo primenjujemo istu formulu na oba proizvoda unutar zagrade.

\frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} \left( \cos \left( \frac{5x}{6} + \frac{x}{4} \right) + \cos \left( \frac{5x}{6} - \frac{x}{4} \right) \right) + \frac{1}{2} \left( \cos \left( \frac{x}{6} + \frac{x}{4} \right) + \cos \left( \frac{x}{6} - \frac{x}{4} \right) \right) \right]

Izvlačimo zajednički faktor $\frac{1}{2}$ ispred zagrade i računamo vrednosti argumenata. Za prvi deo imamo $\frac{5x}{6} \pm \frac{x}{4} = \frac{10x \pm 3x}{12} ,$ a za drugi $\frac{x}{6} \pm \frac{x}{4} = \frac{2x \pm 3x}{12} .$

\frac{1}{4} \left( \cos \frac{13x}{12} + \cos \frac{7x}{12} + \cos \frac{5x}{12} + \cos \left( -\frac{x}{12} \right) \right)

Koristimo osobinu parnosti kosinusne funkcije $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$ i zapisujemo konačan rezultat.

\frac{1}{4} \left( \cos \frac{13x}{12} + \cos \frac{7x}{12} + \cos \frac{5x}{12} + \cos \frac{x}{12} \right)

Započni učenje

Online časovi

753.b

Beleške