2622.

Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir ili razliku

TEKST ZADATKA

Transformisati proizvod trigonometrijskih funkcija u zbir ili razliku:

cos⁡x2cos⁡x3cos⁡x4\cos \frac{x}{2} \cos \frac{x}{3} \cos \frac{x}{4}
REŠENJE ZADATKA

Primenjujemo formulu za proizvod kosinusa na prva dva faktora: cos⁡αcos⁡β=12(cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β)). \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)) . U ovom slučaju je α=x2 \alpha = \frac{x}{2} i β=x3. \beta = \frac{x}{3} .

cos⁡x2cos⁡x3=12(cos⁡(x2+x3)+cos⁡(x2−x3))\cos \frac{x}{2} \cos \frac{x}{3} = \frac{1}{2} \left( \cos \left( \frac{x}{2} + \frac{x}{3} \right) + \cos \left( \frac{x}{2} - \frac{x}{3} \right) \right)

Sređujemo argumente unutar zagrada.

12(cos⁡3x+2x6+cos⁡3x−2x6)=12(cos⁡5x6+cos⁡x6)\frac{1}{2} \left( \cos \frac{3x + 2x}{6} + \cos \frac{3x - 2x}{6} \right) = \frac{1}{2} \left( \cos \frac{5x}{6} + \cos \frac{x}{6} \right)

Sada dobijeni izraz množimo sa preostalim faktorom cos⁡x4. \cos \frac{x}{4} .

12(cos⁡5x6+cos⁡x6)cos⁡x4=12(cos⁡5x6cos⁡x4+cos⁡x6cos⁡x4)\frac{1}{2} \left( \cos \frac{5x}{6} + \cos \frac{x}{6} \right) \cos \frac{x}{4} = \frac{1}{2} \left( \cos \frac{5x}{6} \cos \frac{x}{4} + \cos \frac{x}{6} \cos \frac{x}{4} \right)

Ponovo primenjujemo istu formulu na oba proizvoda unutar zagrade.

12[12(cos⁡(5x6+x4)+cos⁡(5x6−x4))+12(cos⁡(x6+x4)+cos⁡(x6−x4))]\frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} \left( \cos \left( \frac{5x}{6} + \frac{x}{4} \right) + \cos \left( \frac{5x}{6} - \frac{x}{4} \right) \right) + \frac{1}{2} \left( \cos \left( \frac{x}{6} + \frac{x}{4} \right) + \cos \left( \frac{x}{6} - \frac{x}{4} \right) \right) \right]

Izvlačimo zajednički faktor 12 \frac{1}{2} ispred zagrade i računamo vrednosti argumenata. Za prvi deo imamo 5x6±x4=10x±3x12, \frac{5x}{6} \pm \frac{x}{4} = \frac{10x \pm 3x}{12} , a za drugi x6±x4=2x±3x12. \frac{x}{6} \pm \frac{x}{4} = \frac{2x \pm 3x}{12} .

14(cos⁡13x12+cos⁡7x12+cos⁡5x12+cos⁡(−x12))\frac{1}{4} \left( \cos \frac{13x}{12} + \cos \frac{7x}{12} + \cos \frac{5x}{12} + \cos \left( -\frac{x}{12} \right) \right)

Koristimo osobinu parnosti kosinusne funkcije cos⁡(−α)=cos⁡α \cos(-\alpha) = \cos \alpha i zapisujemo konačan rezultat.

14(cos⁡13x12+cos⁡7x12+cos⁡5x12+cos⁡x12)\frac{1}{4} \left( \cos \frac{13x}{12} + \cos \frac{7x}{12} + \cos \frac{5x}{12} + \cos \frac{x}{12} \right)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti