5069. Svojstva realnih funkcija

Podsetimo se definicije: funkcija $f:A\to\mathbb{R}$ je parna ako važe dva uslova: (1) skup $A$ je simetričan u odnosu na $0 ,$ tj. iz $x\in A$ sledi $-x\in A$ ; (2) za svako $x\in A$ važi $f(-x)=f(x) .$ Grafik parne funkcije je simetričan u odnosu na $y$ -osu.

Apsolutnu vrednost zapisujemo po definiciji:

|x|=\begin{cases} x, & \text{za } x\geq 0 \\ -x, & \text{za } x<0 \end{cases}

Prvi uslov: funkcija je definisana za svaki realan broj, a $\mathbb{R}$ je simetričan skup. Proverimo drugi uslov na primeru:

y(2)=4+\frac12\cdot2=5, \qquad y(-2)=(-2)^2+\frac12|-2|=4+1=5

Opšte: $(-x)^2=x^2 ,$ a iz definicije sledi $|-x|=|x|$ (za $x\geq0$ je $|-x|=-(-x)=x ,$ a za $x<0$ je $|-x|=-x$ ). Zato je:

y(-x)=(-x)^2+\frac12|-x|=x^2+\frac12|x|=y(x)

Oba uslova su ispunjena, pa je funkcija $y=x^2+\frac12|x|$ parna.

Započni učenje

Online časovi

88.g

Beleške